Користувач:Галактион/Нерівність Юнга

Подстраница "Користувач:Галактион/Нерівність Юнга" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Нерівність Юнга". Галактион 20:51, 5 березня 2010 (UTC)

Две равносильные формы записи неравенства Юнга на языке сообщества математиков

$~t\vdash \quad \{a,b\}\subseteq [0,\infty )\ \land \ \{p,q\}\subseteq [1,\infty )\ \to \ ({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\ \to \ ab\ \leq \ {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}})$

$~t\vdash \quad \forall _{\{a,b\}\ \subseteq \ [0,\infty )}\ \forall _{\{p,q\}\ \subseteq \ [1,\infty )}\ ({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\ \to \ ab\ \leq \ {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}})$

Примечание

$~t\vdash \quad \{a,b\}\subseteq [0,\infty )\ \land \ \{p,q\}\subseteq [1,\infty )\ \to \ ({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\ \land \ a^{p}=b^{q}\ \to \ ab={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}})$

Набросок доказательства

${\begin{aligned}ab=ab^{1}=ab^{\frac {q}{q}}=a(b^{q})^{\frac {1}{q}}=a(a^{p})^{\frac {1}{q}}=aa^{\frac {p}{q}}=a^{1}a^{\frac {p}{q}}=a^{\frac {p}{p}}a^{\frac {p}{q}}=a^{{\frac {p}{p}}+{\frac {p}{q}}}=a^{p\cdot ({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}})}=a^{p\cdot 1}=a^{p}\\\ =a^{p}\cdot 1=a^{p}\cdot ({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}})={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {a^{p}}{q}}={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\end{aligned}}$

Галактион 12:34, 18 липня 2009 (UTC)