Нижеследующие определения написаны на языке сообщества математиков.
Определение непрерывности вещественной функции вещественного переменного в точке (по Коши)
d
⊢
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
a
∈
X
→
(
f
∈
C
o
n
t
(
a
)
↔
{\displaystyle ~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ a\in \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a)\ \leftrightarrow }
∀
ε
(
ε
∈
R
∧
ε
>
0
→
∃
δ
(
δ
∈
R
∧
δ
>
0
∧
∀
x
(
x
∈
X
→
(
|
x
−
a
|
<
δ
→
|
f
(
x
)
−
f
(
a
)
|
<
ε
)
)
)
)
)
{\displaystyle ~\forall \varepsilon \ (\varepsilon \in \mathbb {R} \ \land \ \varepsilon >0\to \exists \delta \ (\delta \in \mathbb {R} \ \land \ \delta >0\ \land \ \forall x\ (x\in \mathbb {X} \to (|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\varepsilon ))))\ )}
Используя ограниченные кванторы, указанное определение можно записать короче, а именно
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
a
∈
X
⇒
{\displaystyle ~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ a\in \mathbb {X} \ \Rightarrow }
f
∈
C
o
n
t
(
a
)
↔
∀
ε
∈
(
0
,
∞
)
∃
δ
∈
(
0
,
∞
)
∀
x
∈
X
(
|
x
−
a
|
<
δ
→
|
f
(
x
)
−
f
(
a
)
|
<
ε
)
{\displaystyle ~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a)\quad \leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\varepsilon )}
Определение непрерывности вещественной функции вещественного переменного в точке (по Гейне)
d
⊢
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
a
∈
X
→
(
f
∈
C
o
n
t
(
a
)
↔
{\displaystyle ~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ a\in \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a)\ \leftrightarrow }
∀
b
(
b
:
N
↦
R
∧
∀
n
(
n
∈
N
→
b
n
∈
X
)
∧
lim
n
→
∞
b
n
=
a
→
lim
n
→
∞
f
(
b
n
)
=
f
(
a
)
)
)
{\displaystyle ~\forall \mathrm {b} \ (\mathrm {b} :\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R} \quad \land \quad \forall n\ (n\in \mathbb {N} \to b_{n}\in \mathbb {X} )\quad \land \quad \lim _{n\to \infty }b_{n}=a\quad \to \quad \lim _{n\to \infty }f(b_{n})=f(a)\ ))}
Используя ограниченный квантор, указанное определение можно записать так:
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
a
∈
X
⇒
{\displaystyle ~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ a\in \mathbb {X} \ \Rightarrow }
f
∈
C
o
n
t
(
a
)
↔
∀
b
:
N
↦
R
∧
∀
n
(
n
∈
N
→
b
n
∈
X
)
(
lim
n
→
∞
b
n
=
a
→
lim
n
→
∞
f
(
b
n
)
=
f
(
a
)
)
{\displaystyle ~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a)\quad \leftrightarrow \quad \forall _{\mathrm {b} :\ \mathbb {N} \ \mapsto \ \mathbb {R} \ \land \ \forall n\ (n\ \in \ \mathbb {N} \ \to \ b_{n}\ \in \ \mathbb {X} )}\ (\lim _{n\to \infty }b_{n}=a\ \to \ \lim _{n\to \infty }f(b_{n})=f(a)\ )}
Определение непрерывности вещественной функции вещественного переменного на множестве точек
d
⊢
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
A
⊆
X
→
(
f
∈
C
o
n
t
(
A
)
↔
∀
a
(
a
∈
A
→
f
∈
C
o
n
t
(
a
)
)
)
{\displaystyle ~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (A)\ \leftrightarrow \ \forall a\ (a\in A\to \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (a))\ )}
Используя ограниченные кванторы, указанное определение можно записать так:
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
A
⊆
X
⇒
{\displaystyle ~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \Rightarrow }
f
∈
C
o
n
t
(
A
)
↔
∀
a
∈
A
∀
ε
∈
(
0
,
∞
)
∃
δ
∈
(
0
,
∞
)
∀
x
∈
X
(
|
x
−
a
|
<
δ
→
|
f
(
x
)
−
f
(
a
)
|
<
ε
)
{\displaystyle ~\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (A)\ \leftrightarrow \ \forall _{a\ \in \ A}\ \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\varepsilon )}
Определение равномерной непрерывности вещественной функции вещественного переменного на множестве точек
d
⊢
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
A
⊆
X
→
(
f
∈
C
o
n
t
,
u
(
A
)
↔
{\displaystyle ~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont,u}} (A)\ \leftrightarrow }
∀
ε
∈
(
0
,
∞
)
∃
δ
∈
(
0
,
∞
)
∀
{
a
,
x
}
⊆
A
(
|
x
−
a
|
<
δ
→
|
f
(
x
)
−
(
f
(
a
)
|
<
ε
)
{\displaystyle ~\forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{\{a,x\}\ \subseteq \ A}\ (|x-a|<\delta \to |f(x)-(f(a)|<\varepsilon )}
Примечание
t
⊢
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
A
⊆
X
→
(
f
∈
C
o
n
t
,
u
(
A
)
→
f
∈
C
o
n
t
(
A
)
)
{\displaystyle ~t\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont,u}} (A)\ \to \ \mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont}} (A)\ )}
Определение абсолютной непрерывности вещественной функции вещественного переменного на множестве точек
d
⊢
f
:
X
↦
Y
∧
X
×
Y
⊆
R
2
∧
A
⊆
X
→
(
f
∈
C
o
n
t
,
a
(
A
)
↔
{\displaystyle ~d\vdash \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ A\subseteq \mathbb {X} \ \to \ (\mathrm {f} \in \mathrm {C_{ont,a}} (A)\ \leftrightarrow }
∀
ε
∈
(
0
,
∞
)
∃
δ
∈
(
0
,
∞
)
∀
n
∈
N
∀
{
x
0
,
.
.
.
,
x
n
}
⊆
R
∀
{
y
0
,
.
.
.
,
y
n
}
⊆
R
(
∀
i
∈
{
0
,
.
.
.
n
}
(
x
i
<
y
i
∧
(
x
i
,
y
i
)
⊆
A
)
∧
{\displaystyle ~\forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{\delta \ \in \ (0,\infty )}\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{\{x_{0},...,x_{n}\}\ \subseteq \ \mathbb {R} }\ \forall _{\{y_{0},...,y_{n}\}\ \subseteq \ \mathbb {R} }\quad (\forall _{i\ \in \ \{0,...n\}}\ (x_{i}<y_{i}\ \land \ (x_{i},y_{i})\subseteq A)\quad \land }
∀
{
i
,
j
}
⊆
{
0
,
.
.
.
,
n
}
∧
i
≠
j
(
(
x
i
,
y
i
)
∩
(
x
j
,
y
j
)
=
∅
)
∧
∑
k
=
0
n
(
y
i
−
x
i
)
<
δ
→
∑
k
=
0
n
|
f
(
y
i
)
−
f
(
x
i
)
|
<
ε
)
{\displaystyle ~\forall _{\{i,j\}\ \subseteq \ \{0,...,n\}\ \land \ i\neq j}\ ((x_{i},y_{i})\ \cap \ (x_{j},y_{j})=\varnothing )\quad \land \quad \sum _{k=0}^{n}(y_{i}-x_{i})<\delta \ \to \ \sum _{k=0}^{n}|f(y_{i})-f(x_{i})|<\varepsilon )}
Примечание
(
x
i
,
y
i
)
=
{
z
|
z
∈
R
∧
x
i
<
z
<
y
i
}
{\displaystyle ~(x_{i},y_{i})=\{z|\ \ z\in \mathbb {R} \ \land \ x_{i}<z<y_{i}\}}
Галактион 06:43, 29 травня 2009 (UTC)