Книга Лем — це книга Сабіта ібн Курра, присвячена Архімеду, хоча авторство книги є сумнівним. Книга складається з 15 тверджень (лем), пов'язаних з колом.[1]

Вигляд першої сторінки Книги Лем в «Робота Архімеда» (1897).

ІсторіяРедагувати

ПерекладиРедагувати

Книгу вперше було опубліковано арабською мовою Сабітом ібн Курром: він приписував цю роботу Архімеду. В 1661 році арабський рукопис було перекладено латинською Абрамом Ейхеленсісом[en], а потім редаговано Джованні Бореллі. Латинська версія була публікована під назвою «Liber Assumptorum».[2] Томас Літс Хесс[en] переклав латинський рукопис на англійську в своїх «Роботах Архімеда».[3][4]

АвторствоРедагувати

Справжнє авторство Книги Лем є досі під сумнівом, тому що в четвертій теоремі книга звертається до Архімеда в третій особі. Проте, було висловлено декілька припущень з цього приводу: перше — це було доповненням перекладача;[5] друге — Книга Лем може бути збіркою теорем Архімеда, зібраною пізніше грецьким письменником.[1]

Нові геометричні фігуриРедагувати

Книга Лем розглядає кілька нових геометричних фігур.

АрбелосРедагувати

 
Арбелос — це заштрихований регіон (сірого кольору)

Архімед вперше розглянув арбелос в четвертій теоремі своєї книги:

  Якщо АВ діаметр півкола та N – будь-яка точка на АВ і півкола, вписані в перше півкільце, мають точку AN, BN відповідно діаметр, фігура, що знаходиться між колами трьох півкіл є тим, «що Архімед називав αρβηλος»; і його площа дорівнює окружності на PN, як діаметрі, де PN перпендикулярно АВ, і перетинає півколо в точці Р.[1]  

Фігура використовується з четвертого по восьме твердження. В п'ятому твердженні Архімед вводить поняття про Архімедові дві окружності, а в восьмому твердженні, він передбачає, який вигляд буде мати Ланцюг Паппа Александрійського, офіційно представлений Паппом Александрійським.

СаліонРедагувати

 
Саліон — регіон, заштрихований блакитним кольором

Архімед вперше розглянув саліон в чотирнадцятому твердженні своєї книги:

  Нехай АВС буде півколом на АВ, як діаметрі, та нехай АВ та ВЕ рівні довжині, виміряної вздовж АВ відповідно від А та В. На діаметрах АD та ВЕ опишемо півкола з боку в напрямку до С, та на діаметрі DE півколо на протилежному боці. Нехай перпендикуляр до АВ через точку О, центру першого півкола, перетинає протилежні півкола в відповідних точках C, F. Тоді площа фігури, обмеженої контурами всіх на півкіл, буде дорівнювати площі кола на діаметри[6] СF.[1]  

Архімед довів, що саліон та коло рівні у площинах.

ТвердженняРедагувати

  1. Якщо два кола торкаються один одного в точці А та якщо CD, EF є паралельними діаметрами в них, ADF — пряма лінія.
  2. Нехай АВ — діаметр півкола та нехай дотичні до нього в точці В і в будь-якій іншій точці на D, перетинаються на Т. Якщо DE буде зображене перпендикулярно до АВ, та AT, DE перетнуться в точці F, тоді DF = FE.
  3. Нехай Р — будь-яка точка на ділянці кола, основа якого АВ, і нехай PN перпендикулярно до АВ. Відмітимо точку D на відрізку АВ так, щоб AN = ND. Якщо PQ утворює дугу, рівну дузі РА, включаючи BQ, тоді BD має бути рівним.
  4. Якщо АВ діаметр півкола та N — будь-яка точка на АВ і півкола, вписані в перше півкільце, мають точку AN, BN відповідно діаметр, фігура, що знаходиться між колами трьох півкіл є тим, «що Архімед називав αρβηλος»; і його площа дорівнює окружності на діаметрі PN, де PN перпендикулярно АВ, і перетинає півколо в точці Р.
  5. Нехай АВ — діаметр півкола, С — будь-яка точка на АВ та СD перпендикулярне ним, і нехай півкола описані першим півколом з діаметрами AC, CB. Тоді якщо два кола торкаються CD з різних боків на півколі, намальовані півкола будуть рівними.
  6. Нехай АВ — діаметр півкола, поділений точкою С так, що AC = 3/2 × CB (або в будь-якому співвідношенні). Опишемо півкола першим півколом на діаметрах AC, CB і припустимо, що намальоване коло торкається всіх трьох півкіл. Якщо GH — діаметр цього кола, можна знайти відношення між GH та АВ.
  7. Якщо кола описані і вписані в квадрат, значення описаного кола — це подвійне значення вписаного.
  8. Якщо АВ є будь-якою хордою кола з центром О, і якщо АВ продовжує С, тоді ВС є рівним радіусу; якщо в подальшому СО перетинає коло в точці D продовжує перетинати коло вдруге в точці Е, дуга АЕ буде рівною дузі BD.
  9. Якщо в колі є дві хорди AB, CD, що не проходять через центральне пересечіння під прямим кутом, тоді (дуга АD) + (дуга CB)=(дуга AC)+ (дуга DB).
  10. Припустимо, що ТА та ТВ — це дві дотичні кола, який поділяється відрізком ТС. Нехай BD — хорда через В, паралельна ТС, і нехай AD перетинає ТС в точці Е. Тоді якщо ЕН буде зображене перпендикулярно до BD, він буде розрізати навпіл Н.
  11. Якщо дві хорди AB, CD в колі перехрещуються в правому куті в точці О, що не є центром, тоді AO  + BO  + CO  + DO  =(діаметр) .
  12. Якщо АВ — діаметр півкола, а TP, TQ — його дотичні в будь-якій точці Т; якщо AQ, BP злучаються, перехрещуючи R, тоді TR перпендикулярно до АВ.
  13. Якщо діаметр кола АВ перетинає будь-яку хорду CDне діаметр) в точці Е, та якщо AM, BN розташовані перпендикулярно до CD, тоді CN = DM.
  14. Нехай АВС — півколо з діаметром АВ, нехай AD, BE мають однакову довжину, виміряну вздовж АВ з точок А, В. На діаметрах AD, BE описані півкола з боку через точку С, та на діаметрі DE півколо на протилежному боці. Нехай перпендикуляр, що веде до АВ через О, центр півкола, перетинає протилежні півкола в точках С, F. Тоді площа фігури, обмеженої всіма півколами буде дорівнювати площі кола на діаметрі CF.
  15. Нехай АВ — діаметр кола, АС — сторона вписаного правильного п'ятикутника, D — середня точка луги АС. Додамо CD та перехрестимо його з діаметром ВА, перехрещеним в точці Е; додамо AC, DB, що перетинаються в точці F, і зобразимо FM перпендикулярно до AB. Отримаємо, що EM = (радіус кола)[7].[1]

ПриміткиРедагувати

  1. а б в г д Heath, Thomas Little (1897). The Works of Archimedes. Cambridge University: University Press. с. xxxii, 301–318. Процитовано 15 червня 2008. 
  2. From Euclid to Newton. Brown University. Архів оригіналу за 24 лютого 2008. Процитовано 24 червня 2008. 
  3. Aaboe, Asger (1997). Episodes from the Early History of Mathematics. Washington, D.C.: Math. Assoc. of America. с. 77, 85. ISBN 0-88385-613-1. Процитовано 19 червня 2008. 
  4. Glick, Thomas F.; Livesey, Steven John; Wallis, Faith (2005). Medieval Science, Technology, and Medicine: An Encyclopedia. New York: Routledge. с. 41. ISBN 0-415-96930-1. Процитовано 19 червня 2008. 
  5. Bogomolny, A. Archimedes' Book of Lemmas. Cut-the-Knot. Процитовано 19 червня 2008. 
  6. Діáметр кола — найдовша хорда. За величиною діаметр дорівнює двом радіусам. Діаметр кривої другого порядку — хорда, що проходить через центр кривої. Спряжені діаметри — пара діаметрів, що задовольняють умові: середини хорд паралельних першому діаметру, лежать на другому діаметрі.
  7. Відрізок, що з'єднує центр кола (сфери) з довільною точкою цього кола (сфери). Позначається здебільшого латинськими літерами r або R.