Зрізаний вузол

Зрізаний вузол — це тип математичного вузла. В теорії вузлів «вузол» означає вкладене в 3-сферу коло

S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}

,

а 3-сферу можна розглядати як межу чотиривимірної кулі

B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.

Вузол $K\subset S^{3}$ є зрізаним, якщо він є межею належним чином вкладеного диска D в 4-вимірну кулю^[1].

Що означає «належним чином вкладеного», залежить від контексту і розуміється по різному для різних типів зрізаних вузлів. Якщо D є гладким вкладенням в B^4, то кажуть, що K є гладко зрізаним вузлом. Якщо K є лише локально плоским^[en] (що слабше), то кажуть, що K є топологічно зрізаним вузлом.

Будь-який стрічковий вузол є гладким зрізаним вузлом. Старе питання Фокса^[en] полягає в тому, чи є будь-який гладкий вузол стрічковим^[2].

Сигнатура зрізаного вузла дорівнює нулю^[3].

Многочлен Александера зрізаного вузла розпадається на множники $f(t)f(t^{-1})$ , де $f(t)$ — деякий многочлен Лорана з цілими коефіцієнтами^[3]. Це відомо як умова Фокса-Мілнора^[4].

Нижче наведено список всіх зрізаних вузлів з 10 і менше перетинами. Список складено за Атласом вузлів [Архівовано 11 серпня 2020 у Wayback Machine.]: 6₁, $8_{8}$ , $8_{9}$ , $8_{20}$ , $9_{27}$ , $9_{41}$ , $9_{46}$ , $10_{3}$ , $10_{22}$ , $10_{35}$ , $10_{42}$ , $10_{48}$ , $10_{75}$ , $10_{87}$ , $10_{99}$ , $10_{123}$ , $10_{129}$ , $10_{137}$ , $10_{140}$ , $10_{153}$ і $10_{155}$ .

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ Lickorish, 1997, с. 86.
↑ Gompf, Scharlemann, Thompson, 2010, с. 2305—2347.
↑ ^а ^б Lickorish, 1997, с. 90 [Архівовано 15 вересня 2020 у Wayback Machine.].
↑ Banagl, Vogel, 2010, с. 61.

Література ред.

Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вип. 4 (5 травня). — DOI:10.2140/gt.2010.14.2305.
Markus Banagl, Denis Vogel. The Mathematics of Knots: Theory and Application. — Springer, 2010. — Т. 1. — (Contributions in Mathematical and Computational Sciences) — ISBN 9783642156373.
W. B. Raymond Lickorish. An Introduction to Knot Theory. — Springer, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 9780387982540.

[FOOTNOTELickorish199786-1] Lickorish, 1997, с. 86.

[FOOTNOTEGompf,_Scharlemann,_Thompson20102305—2347-2] Gompf, Scharlemann, Thompson, 2010, с. 2305—2347.

[lick90-3] а ^б Lickorish, 1997, с. 90 [Архівовано 15 вересня 2020 у Wayback Machine.].

[FOOTNOTEBanagl,_Vogel201061-4] Banagl, Vogel, 2010, с. 61.

[1]

[2]

[3]

[4]