Задача про поширення тепла в ізотропному твердому тілі

Фізична інтерпретація задачі

Ізотропне тіло — тіло, властивості якого однакові в усіх напрямках.

Нехай $U(x,t)$ — температура тіла в точці $x$ в момент часу $t$. Якщо різні частини тіла знаходяться при різній температурі, то в тілі виникають теплові потоки і рух тепла відбувається від більш нагрітих частин тіла до менш нагрітих.

Рівняння поширення тепла в твердому ізотропному тілі

Згідно із законом Фур'є кількість теплоти $\Delta Q$, що проходить через елемент поверхні $\Delta S$ за час $\Delta t$ в напрямку нормалі ${\vec {n}}$ виражається формулою:

$\Delta Q=-k\ {\frac {\partial U}{\partial {\vec {n}}}}\Delta S\Delta t,$ 

де $k>0$ — коефіцієнт теплопровідності. Коефіцієнт $k$ характеризує здатність тіла проводити тепло. Оскільки тіло ізотропне, $k$ не залежить від напрямку нормалі, то $k(x)=k$.

$q_{n}=-k\ {\frac {\partial U}{\partial {\vec {n}}}}$ — кількість тепла, яка проходить через одиницю поверхні за одиницю часу,

$q_{n}$ — тепловий потік в напрямку нормалі.

${\vec {q}}=-k\ {\overrightarrow {grad}}(U),{\vec {q}}$ — вектор теплового потоку, який вказує те, що тепло поширюється в напрямку найбільшого спадання температур.

За наслідком закону збереження енергії або частинним випадком першого закону термодинаміки: $\Delta U=Q$ — зміна внутрішньої енергії системи дорівнює кількості переданого їй тепла, при цьому

$\Delta U=c\ m\ \Delta t$ — кількість тепла, яку необхідно надати тілу масою $m$ з питомою теплоємністю $c$, щоб підняти його температуру на $\Delta U$ градусів: $\Delta U=U(x,t_{2})-U(x,t_{1}),0\leq t_{1}<t_{2}$ .

$\Delta U=c\ m\ \Delta t$ — рівняння теплового балансу для довільного об'єму G, обмеженого поверхнею S протягом часу $(t_{1};t_{2})$. Тепло в область G може потрапляти двома шляхами:

• Через поверхню S від іншої частини тіла, тоді кількість тепла: $Q_{1}=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\int _{S}k{\frac {\partial U}{\partial {\vec {n}}}}\ ds=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\int _{G}div({\overrightarrow {grad}}(U))\ d\tau ,$

де $d\tau$ — елементарний об'єм, ${\vec {n}}$ — внутрішня нормаль області G.

• Тепло може виділятися в області за рахунок дії теплових джерел:

$Q_{2}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\int _{G}f(x,t)\ d\tau ,$ де $f(x,t)$— об'ємна густина джерел — кількість тепла, яка виділяється або поглинається в одиниці об'єму за одиницю часу.

Тоді $Q_{1}+Q_{2}$ — надходження тепла в область $G$.

За рахунок надходження тепла в область $G$ температура його точок підвищується на величину ${\mathcal {4}}U$ за проміжок часу $(t_{1};t_{2}).$ За формулою кількості тепла:

$Q_{3}=c\ m\ \Delta U=\int _{G}c\rho \ [U(x,t_{2})-U(x,t_{1})]d\tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int \rho c\ {\frac {\partial U}{\partial t}}d\tau .$

З рівняння теплового балансу $Q_{1}+Q_{2}=Q_{3}$ маємо: $\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\int _{G}div({\overrightarrow {grad}}(U))\ d\tau +\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\int _{G}f(x,t)\ d\tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int \rho c\ {\frac {\partial U}{\partial t}}d\tau$

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\int _{G}\left(div({\overrightarrow {grad}}(U))+f(x,t)-\rho c\ {\frac {\partial U}{\partial t}}\right)d\tau =0$

Тоді рівняння поширення тепла в твердому ізотропному тілі: $\rho c\ {\frac {\partial U}{\partial t}}=div({\overrightarrow {grad}}(U))+f(x,t)$

Якщо тіло однорідне, то всі характеристики сталі: $k=const,\rho =const,c=const,$ тоді ${\frac {\partial U}{\partial t}}=a^{2}\Delta U+{\frac {f}{\rho \ c}},$ де $a^{2}={\frac {k}{\rho \ c}}$ — коефіцієнт теплопровідності.

Інший вигляд цього рівняння: $\Delta U-{\frac {1}{a_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial t}}=-{\frac {f}{k}}$

Частинні випадки рівняння

Якщо тепловий потік стаціонарний, тобто температура не змінюється з часом, тоді:

$\Delta U=-{\frac {f}{k}}$ — рівняння Пуассона.

Якщо при цьому відсутні теплові джерела, то $f=0$ і

$\Delta U=0$ — рівняння Лапласа.

Крайові та початкові умови для рівняння

Для однозначного опису процесу поширення тепла необхідно задати тепловий режим на початку процесу (початкові умови) й умови теплообміну на межі області (крайові умови).

Початкова умова задає розподіл температури в момент часу $t=0$: $U(x,0)=\phi (x)$

Крайова умова задається на межі області $\Omega -\partial \Omega$.

Крайова умова може задаватися такими способами:

1. $U{\big |}_{x\in \partial \Omega }=W(x),$ якщо межа тіла $\partial \Omega$ має сталу температуру.
2. ${\frac {\partial U}{\partial {\vec {n}}}}{\Big |}_{x\in \partial \Omega }={\frac {q(t)}{k}},$ якщо всередину тіла через його поверхню надходить заданий тепловий потік $q(t)$. Частинний випадок, якщо $q(t)=0$, то ${\frac {\partial U}{\partial {\vec {n}}}}{\Bigg |}_{x\in \partial \Omega }=0.$
3. Випадок, коли на межі області відбувається теплообмін з навколишнім середовищем заданої температури:

$\left({\frac {\partial U}{\partial {\vec {n}}}}+h(U-U_{0})\right){\Bigg |}_{x\in \partial \Omega }={\frac {q(t)}{k}},$ , де $U_{0}$ - температура навколишнього середовища; $\alpha$ - коефіцієнт зовнішньої теплопровідності; $q$ -кількість тепла, яка проходить через область одиничної площі за одиницю часу.

Постановка задачі про поширення тепла в ізотропному твердому тілі

Таким чином, задача про поширення тепла в ізотропному твердому тілі полягає у знаходженні розв'язку рівняння теплопровідності $\rho c\ {\frac {\partial U}{\partial t}}=div({\overrightarrow {grad}}(U))+f(x,t)$, який задовольняє початкову умову $U(x,0)=\phi (x)$ і одну з крайових умов $U{\big |}_{x\in \partial \Omega }=W(x),{\frac {\partial U}{\partial {\vec {n}}}}{\Big |}_{x\in \partial \Omega }={\frac {q(t)}{k}}$ або $\left({\frac {\partial U}{\partial {\vec {n}}}}+h(U-U_{0})\right){\Bigg |}_{x\in \partial \Omega }={\frac {q(t)}{k}}.$