Задача про оборудку

Задача про оборудку (також задача про перемовини, задача торгу) — гра двох осіб, у якій моделюється ситуація двосторонніх перемовин. У ній беруть участь два гравці, які приймають рішення про розподіл деякого блага (часто в грошовій формі). Якщо гравці домовляються про розподіл, вони отримують необхідну частину. В іншому випадку ніхто нічого не отримує.

Гру вперше запропонував 1950 року Дж. Ф. Неш у роботі The Bargaining Problem. Там же сформульовано один з підходів до розв'язання цієї задачі, яки отримав згодом назву «розв'язок Неша».

Формально задачу про оборудку можна записати у вигляді четвірки $\{X,d,u_{1},u_{2}\}$, де X — множина альтернатив, із яких вибирають учасники; $u_{i}$ — функція корисності i-го учасника, визначена на множині X; $d\in X$ — точка розбіжності (результат, який отримають учасники, якщо переговори не дадуть результату).

Розв'язок Неша

Розв'язок Неша задачі про оборудку (в літературі часто використовується абревіатура NBS, від англ. Nash bargaining solution — розв'язок Неша для оборудки) являє собою аксіоматичний принцип оптимальності, що задовольняє таким аксіомам:

1. Інваріантність до афінних перетворень функцій корисності учасників;
2. Ефективність за Парето;
3. Незалежність від сторонніх альтернатив: якщо з множини X прибрати завідомо неоптимальні альтернативи, то розв'язок задачі не зміниться;
4. Симетричність: якщо гравці однакові, тобто $u_{1}(.)=u_{2}(.)$, при розбіжності отримують однакову корисність $u_{1}(d)=u_{2}(d)$ і множина Х — симетрична, тобто для будь-якої альтернативи $x'\in X$ знайдеться альтернатива $x''\in X$, така, що $u_{1}(x')=u_{2}(x''),u_{1}(x'')=u_{2}(x')$, те $u_{1}(x)=u_{2}(x)$.

Теорема. Розв'язком задачі про оборудку $\{X,d,u_{1},u_{2}\}$, що задовольняє аксіомам (1) — (4) є точка максимуму на множині X функції

$\Phi (x)=(u_{1}(x)-u_{1}(d))(u_{2}(x)-u_{2}(d))$.

Література

• Nash J. The Bargaining Problem // Econometrica. — 1950. — Vol. 18. — P. 155—162.
• Binmore K., Rubinstein A., Wolinsky A. The Nash Bargaining Solution in Economic Modelling // RAND Journal of Economics. — 1986. — Vol. 17. — P. 176—188.
• Оуэн Г. Теория игр. — М.: УРСС, 2004.