Еліптичні функції Абеля
У математиці еліптичні функції Абеля — це частинний випадок еліптичних функцій, які були дослідженні норвезьким математиком Нільсом Генріком Абелем. Свою статтю "Recherches sur les Fonctions elliptiques" він опублікував у журналі Крейля[en] у 1827 році.[1] Це була перша робота з еліптичних функцій, яка була дійсно опублікована.[2] Робота Абеля про еліптичні функції також вплинула на дослідження Якобі про еліптичні функції, книга "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum[en]" якого, опублікована в 1829 році, стала стандартною роботою з еліптичних функцій.[3]
Історія
ред.Відправною точкою Абеля були еліптичні інтеграли, які були дуже детально вивчені Андрієм-Марі Ленджанром. Він почав свої дослідження в 1823 році, коли був іще студентом. Зокрема, він розглядав їх як функції комплексної змінної, які на той час були ще в зародковому стані. У наступні роки Абель продовжував досліджувати ці функції. Він також намагався узагальнити їх на функції з іще більшою кількістю періодів, але, здається, не поспішав публікувати свої результати.
Але на початку 1827 року він написав свою першу велику статтю "Recherches sur les fonctions elliptiques" про свої відкриття.[4] Наприкінці того ж року йому стало відомо про Карла Густава Якобі та його роботи про нові перетворення еліптичних інтегралів. Потім Абель завершив другу частину своєї статті про еліптичні функції і в додатку показав як легко отримати результати про перетворення Якобі.[5][3] Коли він пізніше побачив наступну публікацію Якобі, де той використовує еліптичні функції для доведення своїх результатів, не цитуючи Абеля, то норвезький математик зрозумів, що веде боротьбу з Якобі за пріоритет. Він завершує декілька нових статей щодо суміжних проблем, тепер вперше датуючи їх, але помирає менше ніж через рік, у 1829 році.[6] Тим часом Якобі завершує свою велику роботу Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum[en] про еліптичні функції, яка публікується у цьому ж році у вигляді книги. У підсумку це визначило стандартний вигляд еліптичних функцій у наступні роки.[6]
Виведення з еліптичних інтегралів
ред.Розглянемо еліптичний інтеграл першого роду в наступній симетричній формі:[7]
є непарною зростаючою функцією на інтервалі з максимумом:[2]
Це означає, що функція є оборотною: існує функція така, що , яка визначена на інтервалі .
Як і функція , вона залежить від параметрів і , які можна виразити, записавши .
Оскільки є непарною функцією, то також є непарною функцією, тобто .
Взявши похідну відносно , отримуємо
яка є парною функцією, тобто .
Абель представив нові функції
Таким чином, [2]
, та — функції, відомі як еліптичні функції Абеля. Їх можна продовжити за допомогою теорем додавання. Наприклад, додавши , отримуємо
Комплексне розширення
ред.Функцію можна продовжити на чисто уявні числа за допомогою заміни . Як результат отримуємо , де
є зростаючою функцією на інтервалі з максимумом[8]
Це означає, що функції , і відомі вздовж дійсної та уявної осей. Знову використовуючи теореми додавання, їх можна розширити на комплексну площину.
Наприклад, для отримаємо
Подвійна періодичність і полюси
ред.Періодичність функцій , та можна показати за допомогою багатократного використання теорем додавання. Усі три функції є подвійно періодичними, тобто мають два -лінійно незалежні періоди на комплексній площині:[9]
Полюси функцій , і знаходяться в точках[10]
Зв'язок з еліптичними функціями Якобі
ред.Еліптичні функції Абеля можна виразити через еліптичні функції Якобі, які не залежать від параметрів і , але залежать від модуля :
де
Теореми додавання
ред.Для функцій , і справедливі наступні теореми додавання:[8]
де .
Вони випливають з теорем додавання для еліптичних інтегралів, які довів Ейлер.[8]
Примітки
ред.- ↑ Gray, Jeremy, Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (нім.), Cham, с. 73, ISBN 978-3-319-23715-2
- ↑ а б в Gray, Jeremy, Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (нім.), Cham, с. 74f, ISBN 978-3-319-23715-2
- ↑ а б Gray, Jeremy, Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (нім.), Cham, с. 84f, ISBN 978-3-319-23715-2
- ↑ N.H. Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2, 101–181 (1827).
- ↑ N.H. Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 3, 160–190 (1828).
- ↑ а б Gray, Jeremy (2015), Real and the complex: a history of analysis in the 19th century (нім.), Cham, с. 85, ISBN 978-3-319-23715-2
- ↑ Abel, Niels Henrik; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004). The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002. Berlin: Springer. с. 106. ISBN 3-540-43826-2. OCLC 53919054.
- ↑ а б в Houzel, Christian; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002 (нім.), Berlin: Springer, с. 107, ISBN 3-540-43826-2
- ↑ Houzel, Christian; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002 (нім.), Berlin: Springer, с. 108, ISBN 3-540-43826-2
- ↑ Houzel, Christian; Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The legacy of Niels Henrik Abel: the Abel bicentennial, Oslo, 2002 (нім.), Berlin: Springer, с. 109, ISBN 3-540-43826-2
Література
ред.- Niels Henrik Abel, Recherches sur le fonctions elliptiques, first and second part in Sophus Lie and Ludwig Sylow (eds.) Collected Works, Oslo (1881).
- Christian Houzel, The Work of Niels Henrik Abel, in O.A. Laudal and R. Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel – The Abel Bicentennial, Oslo 2002, Springer Verlag, Berlin (2004). ISBN 3-540-43826-2.