Відкрити головне меню

Диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних

З двома зміннимиРедагувати

Диференціальним рівнянням в частинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними називається співвідношення між невідомою функцією   та її частинними похідними до другого порядку включно.

 

Рівняння називається лінійним відносно старших похідних, якщо воно має вигляд:

 

де   - функції від x та y.

Якщо   є функціями також від  , то таке рівняння називають квазілінійним.

Рівняння називається лінійним, якщо має вигляд:

 ,

де   - певні функції від x та y.

Якщо   - сталі, то рівняння називають лінійним рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Якщо   то рівняння однорідне, інакше неоднорідне.

Всю сукупність лінійних рівнянь можна поділити на три типи. Кожному з цих трьох типів відповідає певне рівняння найпростішого виду, яке називають канонічним.

За загальноприйнятою класифікацією, вважають, що рівняння (1) належить до

  1. гіперболічного типу, якщо  ;
  2. параболічного типу, якщо  ;
  3. еліптичного типу, якщо  ;

де   (рівняння може належати до різних типів, в різних областях площини x,y)

З багатьма зміннимиРедагувати

Розглянемо лінійне рівняння другого порядку з дійсними коефіцієнтами:

 

  - функції від  .

Йому відповідає квадратична форма:

 

Зводимо її до канонічного виду, за допомогою лінійного перетворення, матрицю якого позначимо B.

  • Рівняння еліптичне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і одного знаку.
  • Рівняння гіперболічне, якщо в всі коефіцієнти квадратичної форми відмінні від нуля, і один відрізняється знаком.
  • Рівняння параболічне, якщо деякі коефіцієнти квадратичної форми нульові.

ЛітератураРедагувати