Деревний кістяк

Деревний k-кістяк (або просто k-кістяк) графа $G$ — кістякове піддерево $T$ графа $G$, в якому відстань між будь-якою парою вершин не перевищує $k$-разової відстані між ними у графі $G$.

Відомі результати

Є кілька статей на тему деревних кістяків. Одну з них під назвою Tree Spanners (Деревні кістяки) написали математики Лейчжень Кай і Дерек Корніл, які досліджували теоретичні та алгоритмічні проблеми, пов'язані з деревними кістяками. Деякі висновки цієї статті наведено нижче. Тут $n$ скрізь позначає число вершин графа, а $m$ — число ребер.

1. Деревний 1-кістяк, якщо існує, є найменшим кістяковим деревом і для зважених графів його можна знайти за час ${\mathcal {O}}(m\log \beta (m,n))$ (у термінах складності), де $\beta (m,n)=\min \left\{i\mid \log ^{i}n\leqslant m/n\right\}$. Більш того, будь-який деревний 1-кістяк зваженого графа, якщо існує, містить єдине мінімальне кістякове дерево.
2. Деревний 2-кістяк можна побудувати за лінійний час ${\mathcal {O}}(m+n)$, а задача знаходження деревного $t$-кістяка є NP-повною для будь-якого фіксованого цілого $t>3$.
3. Складність знаходження найменшого деревного кістяка в орграфі дорівнює ${\mathcal {O}}((m+n)\cdot \alpha (m+n,n))$, де $\alpha (m+n,n)$ — функція, обернена до функції Акермана.
4. Найменший деревний 1-кістяк зваженого графа можна знайти за час ${\mathcal {O}}(mn+n^{2}\log(n))$ .
5. Для будь-якого фіксованого раціонального числа $t>1$ визначення, чи містить зважений граф деревний 1-кістяк, є NP-повною задачею, навіть якщо всі ваги ребер задано як цілі додатні числа.
6. Орграф містить максимум один деревний кістяк.
7. Квазідеревний кістяк зваженого орграфа можна знайти за час ${\mathcal {O}}(m\log \beta (m,n))$.

Див. також

• Геометричний кістяк

Література

• Dagmar Handke, Guy Kortsarz. Tree spanners for subgraphs and related tree covering problems // Graph-Theoretic Concepts in Computer Science: 26th International Workshop, WG 2000 Konstanz, Germany, June 15–17, 2000, Proceedings. — 2000. — Т. 1928. — С. 206–217. — (Lecture Notes in Computer Science) — ISBN 978-3-540-41183-3. — DOI:10.1007/3-540-40064-8_20.
• Leizhen Cai, Derek G. Corneil. Tree Spanners // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 1995. — Т. 8, вип. 3 (21 квітня). — С. 359–387. — DOI:10.1137/S0895480192237403.