Відкрити головне меню

Двовимірні багатовиди мають деяку специфіку в порівнянні з багатовидами вищих розмірностей.

Одновимірність тензора РіманаРедагувати

Оскільки в двовимірному випадку антисиметрична пара індексів   може тільки одну (з точністю до знаку) комбінацію  , то тензор Рімана   з двома антисиметричними парами індексів має лише одну ненульову компоненту:

 

легко перевірити, що алгебраїчна та диференціальна тотожності Біанкі не накладають на цю компненту ніяких обмежень. Дійсно, алгебраїчна тотожність з циклічною перестановкою перших трьох індексів:

 

задовольняється, оскільки другий протилежний першому (внаслідок антисиметрії   по першій парі індексів), а третій доданок дорівнює нулю. Те саме зауваження стосується і диференціальної тотожності Біанкі:

 

В цій формулі друга пара індексів   теж дорівнює  , але ми таку підстановку навмисне не зробили, щоб підкреслити, що ця пара індексів не бере участі в циклічній перестановці.

Оскільки наведені вище міркування стосуються також тензора метричної матрьошки:

 

То тензор Рімана будь-якого двовимірного багатовида виявляється пропорційним тензору метричної матрьошки:

 

Цікаво, що у вищих розмірностях формула (5) може бути справедливою лише для просторів постійної кривини. Дійсно, нехай буквою   позначено розмірність багатовида. Тоді послідовними згортками із формули (5) знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:

 
 

Ці два вирази ми можемо підставити в згорнуту диференціальну тотжність Біанкі:

 
 
 

При   перші два множника в формулі (8b) ненульові, а тому:

 

тобто коефіцієнт   однаковий для всього багатовида з розмірністю більшою двох.

Для двовимірних багатовидів ( ) формула (8b) перетворюється на тотожний нуль, тому коефіцієнт   може змінюватися. Із формули (7) знаходимо, що   дорівнює Ґаусовій кривині другого степеня:

 

Маємо такі формули для двовимірного багатовида:

 
 
 

Ізотермічні координатиРедагувати

В вудь-якому двовимірному багатовиді можна вибрати (локально звичайно з огляду на топологію, в околі будь-якої точки) таку систему координат, що метричний тензор   буде пропорційним одиничній матриці:

 

Такі координати називаються ізотермічними. Квадрат елемента відстані дорівнює:

 

Теорема Ґауса — БоннеРедагувати

Для будь-якого гладкого замкнутого контура   на двовимірному багатовиді і обмеженої цим контуром області   справедлива наступна формула:

 

де перший інтеграл береться від геодезичної кривини контура  , другий інтеграл береться від Ґаусової кривини, а   є цілим числом - характеристикою Ейлера для області  . Докладніше ця теорема описана в статті Теорема Ґауса-Бонне.