Біметричні теорії гравітації

альтернативна теорія гравітації

Біметричні теорії гравітації — альтернативні теорії гравітації, в яких замість одного метричного тензора використовують два або більше. Часто друга метрика вводиться лише за високих енергій, із припущенням, що швидкість світла може залежати від енергії. Найвідомішими прикладами біметричних теорій є теорія Розена та релятивістська теорія гравітації (остання — в канонічному трактуванні).

Двовимірні моделі розширюють загальну теорію відносності, щоб точно пояснити природу темної матерії та темної енергії

Біметрична теорія Розена

ред.

У загальній теорії відносності передбачається, що відстань між двома точками у просторі-часі визначається метричним тензором. Для розрахунку форми метрики виходячи з розподілу енергії використовують рівняння Ейнштейна.

Натан Розен (1940) запропонував у кожній точці простору-часу ввести на додаток до ріманового метричного тензора   евклідів метричний тензор  . Таким чином, у кожній точці простору-часу ми отримуємо дві метрики:

 
 

Перший метричний тензор   описує геометрію простору-часу і, отже, гравітаційне поле. Другий метричний тензор   стосується плоского простору-часу та описує інерційні сили. Символи Крістоффеля, сформовані з   і  , позначимо   і   відповідно.   визначимо так, щоб

 

Тепер виникають два види коваріантного диференціювання:  -диференціювання, засноване на   — позначають крапкою з комою (;), та 3-диференціювання на основі   — позначають символом / (звичайні часткові похідні позначають комою (,)).   і   будуть тензорами кривини, що розраховуються з   і   відповідно. На основі викладеного вище підходу, тоді, коли   описує плоску просторово-часову метрику, тензор кривини   дорівнює нулю.

З (1) випливає, що хоча   і   не є тензорами, але   — тензор, що має таку ж форму, як  , за винятком того, що звичайна часткова похідна замінюється 3-коваріантною похідною. Простий розрахунок приводить до

 

Кожен член у правій стороні цього співвідношення є тензором. Видно, що від загальної теорії відносності можна перейти до нової теорії, замінивши   на  , звичайне диференціювання на 3-коваріантне диференціювання,   на  , елемент інтегрування   на  , де  ,   і  . Як тільки ми ввели   в теорію, то в нашому розпорядженні виявляється багато нових тензорів та скалярів. Отже, можна отримати рівняння поля, відмінні від рівнянь поля Ейнштейна.

Рівняння для геодезичної в біметричній теорії відносності (БТВ) набуває форми

 

З рівнянь (1) і (2) видно, що можна вважати, що   описує інерційне поле, оскільки   зникає внаслідок відповідного перетворення координат. Властивість же   бути тензором не залежить від будь-яких систем координат, і, отже, можна вважати, що   визначає постійне гравітаційне поле.

Розен (1973) знайшов біметричні теорії, які задовольняють принципу еквівалентності. 1966 року Розен показав, що запровадження плоскої просторової метрики в межах загальної теорії відносності не лише дозволяє отримати щільність енергії-імпульсу тензора гравітаційного поля, але й дозволяє отримати цей тензор із варіаційного принципу. Рівняння поля у БТВ, отримане з варіаційного принципу

 

де

 

або

 
 
 

і   — тензор енергії-імпульсу. Варіаційний принцип приводить також до зв'язку

 

Тому з (3)

 

що має на увазі, що пробна частинка в гравітаційному полі рухається геодезичною відносно  . Фізичні наслідки такої теорії, втім, не відрізняються від загальної теорії відносності.

За іншого вибору початкових рівнянь біметричні теорії та ЗТВ відрізняються в таких випадках:

  • Поширення електромагнітних хвиль.
  • Зовнішнє поле зір високої густини.
  • Поширення інтенсивних гравітаційних хвиль через сильне статичне гравітаційне поле.

Релятивістська теорія гравітації

ред.

Посилання

ред.