Відкрити головне меню

Бор-Молерупова теорема

Теорема Бор-Молерупа ствердує, що гамма-функція, означена на x > 0 як

це єдина функція  f  на проміжку x > 0, яка одночасно має такі три властивості

ДоведенняРедагувати

Нехай Γ(x) буде функцією з припущеними вище властивостями: Γ(x + 1) = xΓ(x) і log(Γ(x)) опукла, і Γ(1) = 1. З того, що Γ(x + 1) = xΓ(x) ми можемо вивести

 

Це нам потрібно для того, щоб Γ(1) = 1 змушувало Γ(x + 1) = xΓ(x) повторювати фукторіали всіх цілих чисел, отже тепер ми можемо сказати, що Γ(n) = (n − 1)! якщо nN і якщо Γ(x) взагалі існує. З нашої формули для Γ(x + n) випливає, що якщо ми повністю розуміємо Γ(x) для 0 < x ≤ 1, то ми розміємо Γ(x) для всіх значень x.

Нахил лінії, що з'єднує дві точки: (x1, log(Γ (x1))) і (x2, log(Γ (x2))), назвемо його S(x1, x2), монотонно висхідний для кожного зі своїх аргументів з x1 < x2, бо ми припустили, що log(Γ(x)) опукла. Отже, ми знаємо, що

 

Перехід   можливий, бо   монотонно висхідна. Останній рядок — це сильне твердження. Зокрема, воно виконується для всіх значень n. Тобто Γ(x) не більша ніж правий бік для будь-якого n і так само, Γ(x) не менша ніж лівий бік для будь-якого n. Кожну нерівність можна тлумачити як незалеєне твердження. Завдяки цьому факту, ми ми вільні обирати різні значення n для правого лівого боків. Так, якщо ми збережемо n для правого боку і виберемо n + 1 для лівого, то:

 

З останнього рядку очевидно, що функція затиснена між двома виразами, звичайна практика для доведення різноманітних штук як-от існування границі або сходимості. Нехай n → ∞:

 

тому при переході до границі лівий і правий боки дорівнюють один одному і це означає, що

 

У конетксті нашого доведення

 

має три властивості Γ(x). Також, доведення надає вираз для Γ(x). І остання критична частина доведення — це те. що границя послідовності унікальна. Це означає, що для будь-якого вибору 0 < x ≤ 1 може існувати лише одне Γ(x). Отже, не існує іншої функції з властивостями приписаними Γ(x).

Залишилось покажати, що Γ(x) спрацьовує для всіх x для яких

 

існує. Проблема полягає в тому, що ми побудували нашу першу нерівність

 

з обмеженням 0 < x ≤ 1. Якщо, скажімо, x > 1 тоді факт того, що S монотонно висхідна зробив би S(n + 1, n) < S(n + x, n), що протирічить нерівності на якій побудувоне все доведення. Але зауважте, що

 

що показує як розгорнути функцію Γ(x) для всіх значень x де границя має місце.

ПосиланняРедагувати