Арифметична група

Арифметична група — це група, що отримується як цілі точки алгебричної групи, наприклад, $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).$ Арифметичні групи виникають природним чином при вивченні арифметичних властивостей квадратичних форм та інших класичних областей теорії чисел. Вони також є джерелом для дуже цікавих прикладів риманових многовидів, а тому представляють інтерес для диференціальної геометрії і топології. Нарешті, ці дві області об'єднуються в теорію автоморфних форм, яка є фундаментальною в сучасній теорії чисел.

Якщо $\mathrm {G}$ є алгебричною підгрупою групи $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )$ для деякого $n$, то ми можемо означити арифметичну підгрупу групи $\mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ як групу цілих точок $\Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} )$. У загальному випадку не очевидно, як точно означити поняття «цілих точок» $\mathbb {Q}$-групи, а підгрупа, визначена вище, може змінюватися, якщо ми візьмемо інше вкладення $\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).$

Тоді краще означення поняття — взяти в якості означення арифметичної підгрупи групи $\mathrm {G} (\mathbb {Q} )$ будь-яку групу $\Lambda$, яка зрівнянна (це означає, що як $\Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )$, так і $\Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )$ є скінченними множинами) з групою $\Gamma$, що означена вище (з урахуванням будь-якого вкладення в $\mathrm {GL} _{n}$). За цим означенням з алгебричною групою $\mathrm {G}$ асоційований набір «дискретних» підгруп, зрівнянних між собою.