Відкрити головне меню
Dominoeffect.png

Математи́чна інду́кція — застосування принципу індукції для доведення теорем в математиці. Зазвичай полягає в доведенні правильності твердження стосовно одного з натуральних чисел, а потім всіх наступних.

Принцип індукції полягає в тому, що нескінченна послідовність тверджень , , правильна якщо:

  1.  — правильне, та
  2. із правильності випливає правильність (істинність) для всіх k.

Індуктивне доведення наочно може бути представлене у вигляді т.зв. принципу доміно. Нехай довільне число кісточок доміно виставлено в ряд таким чином, що кожна кісточка, падаючи, обов'язково перекине наступну за нею кісточку (це індукційний перехід). Тоді, якщо ми штовхнемо першу кісточку (це база індукції), то всі кісточки в ряду впадуть.

На практиці використовується, щоб довести істинність певного твердження для всіх натуральних чисел. Для цього спочатку перевіряється істинність твердження за номером 1 - база (базис) індукції, а потім доводиться, що, якщо правдиве твердження з номером n, то правдиве й наступне твердження за номером n + 1 - крок індукції, або індукційний перехід.

ФормулюванняРедагувати

Припустимо, що потрібно встановити справедливість безкінечною послідовності тверджень, занумерованих натуральними числами:  .

Припустимо, що

  1. Встановлено, що   правильне. (Це твердження називається базою індукції.)
  2. Для будь-якого n доведено, що якщо вірно  , то вірно  . (Це твердження називається індукційним переходом.)

Тоді всі твердження нашої послідовності вірні.

Логічною підставою для цього методу докази слугує так звана аксіома індукції, п'ята з аксіом Пеано, що визначають натуральні числа. Правильність методу індукції еквівалентна тому, що в будь-якій непорожній підмножині натуральних чисел існує мінімальний елемент.

Принцип повної математичної індукціїРедагувати

Існує також варіація, так званий принцип повної математичної індукції. Ось його суворе формулювання:

Нехай є послідовність тверджень  ,  ,  ,  . Якщо для будь-якого натурального   з того, що істинні всі ,  ,  ,  ,  , слід також істинність  , то всі твердження в цій послідовності істинні, тобто  .

У цій варіації база індукції виявляється зайвою, оскільки є тривіальним окремим випадком індукційного переходу. Дійсно, при   імплікація   еквівалентна  . Принцип повної математичної індукції є прямим застосуванням більш сильною трансфінітної індукції.

Принцип повної математичної індукції також еквівалентний аксіомі індукції в аксіомах Пеано.

ІсторіяРедагувати

Усвідомлення методу математичної індукції окремим методом походить від Блеза Паскаля і Герсоніда, хоча окремі випадки використання цього методу відомі ще в Платона (Діалог Парменід — можливо, міститься на початку приклад неявного індуктивного доведення), Прокла і Евкліда. Сучасну назву методу запровадив британський математик Ауґустус де Морган у 1838 році.

ПрикладиРедагувати

Задача. Довести, що, якими б не були натуральне n і дійсне q ≠ 1, справджується рівність

 

Доведення. Індукція по n.

База, n = 1:

 

Перехід: припустимо, що

 

тоді

 
 ,

що й потрібно було довести.

Коментар: істинність тверджения   в цьому доведенні — то саме, що й істинність рівності

 

Варіації та узагальненняРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Weisstein, Eric W. (1999). CRC concise encyclopedia of mathematics. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-9640-9. 

ЛітератураРедагувати

ВідеоматеріалиРедагувати

Див. такожРедагувати