Індикатриса Дюпена або індикатриса кривиниплоска крива на дотичній площині до поверхні, яка дає наочне уявлення про викривлення поверхні в даній її точці. Індикатриса Дюпена названа на честь французького математика Шарля Дюпена, що вперше застосував її до дослідження поверхонь у 1813 році.

Означення і властивості ред.

Індикатриса Дюпена лежить у площині, дотичній до поверхні   в точці  , і є сукупністю кінців відрізків, відкладених від точки   в напрямку   в дотичній площині, що мають довжину, рівну  , де   — абсолютна величина нормальної кривини поверхні   в точці   в напрямку  .

Рівняння індикатриси Дюпена має вигляд

 

де   — вектор дотичної площини,  друга фундаментальна форма поверхні  , в точці   а  відображення Вейнгартена.

Позначивши   — головні напрямки кривини, тобто власні вектори відображення Вейнгартена (вони є ортогональними і утворюють базис дотичної площини), якщо   рівняння індикатриси можна записати як:

 

тобто індикатриса Дюпена є об'єднанням конік.

Індикатриса Дюпена є граничним випадком перетину поверхні із площинами паралельними дотичній площині у точці, що наближаються до даної площини при певній нормалізації. А саме введемо систему координат початок якої є у даній точці і x, y відкладено по головних напрямках дотичної площини, а z у напрямку додатної нормалі до точки. Тоді в деякому околі точки поверхня задається як   для деякої диференційовної функції h. Із формули Тейлора і властивостей головних кривин для такої системи координат можна отримати, що   де   Розглянувши перетин поверхні у таких координатах із площиною   для достатньо малого   отримаємо рівняння кривої   Використавши заміну змінних   це рівняння перепишеться   до того ж   прямуватиме до нуля при прямуванні   до нуля тобто крива у відповідних координатах наближатиметься до індикатриси Дюпена.

Вигляд індикатриси для різних типів точок ред.

Вигляд індикатриси Дюпена залежить від типу точки. Також вона дозволяє визначити асимптотичні напрямки у точці поверхні і спряжені напрямки (тобто напрямки задані векторами   для яких  :

  • Якщо   — еліптична точка поверхні, тобто гаусова кривина є додатною то головні кривини мають однаковий знак і індикатриса Дюпена є еліпсом, напрямок головної і малої осі якого задаються головними напрямками в точці поверхні.
Зокрема якщо   є непланарною точкою округлення то індикатриса Дюпена є колом.
Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб.
  • Якщо   — гіперболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина є від'ємною, то індикатриса Дюпена є парою пов'язаних гіпербол із спільною парою асимптотичних ліній. Ці лінії задають асимптотичні напрямки у точці поверхні.
Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб за винятком двох асимптотичних напрямків, кожен із яких є спряженим сам із собою.
  • Якщо   — параболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина дорівнює нулю, але середня кривина не дорівнює нулю, то індикатриса Дюпена є парою паралельних прямих, спільний напрямок яких є асимптотичним напрямком у точці поверхні.

Див. також ред.

Література ред.

  • Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків: Основа, 1995 . — с. 41-46
  • Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій. [Архівовано 14 квітня 2010 у Wayback Machine.]  — К.: Київський університет, 2004. — 68 с.
  • Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
  • Weatherburn, C.E. (1955). Differential Geometry of Three Dimensions. Cambridge University Press.