H-простір

У математиці, H-простором,^[1] або топологічною одиничною магмою називається топологічний простір на якому задане неперервне множення із одиничним елементом. В різних розділах топології можуть використовуватися різні означення H-простору, зокрема в означенні одиничного елемента рівність може бути лише з точністю до гомотопій.

Означення ред.

Топологічний простір X називається H-простором якщо на ньому задано неперервне відображення μ : X × X → X і одиничний елемент e для якого μ(e, x) = μ(x, e) = x для всіх x із X. При розгляді просторів із виділеною точкою одиничний елемент вважається виділеною точкою простору X. Кожна топологічна група є H-простором. Натомість у H-просторах множення може не бути асоціативним і не для всіх елементів можуть існувати обернені.

У теорії гомотопій переважно вимагається лише щоб відображення μ(e, x) і μ(x, e) були гомотопними одиничному відображенню (у цьому випадку e називається гомотопною одиницею). Якщо розглядаєть простори із виділеними точками, то вимагається гомотопію стосовно виділеної точки.

Усі означення вище є еквівалентними, наприклад, для CW комплексів.

У теорії гомотопій асоціативність і обернені елементи розглядаються теж, як правило, із точністю до гомотопії. Тобто H-простір називається асоціативним, якщо відображення $\mu (\mu \times 1)$ і $\mu (1\times \mu )$ є гомотопними, а відображення $i:X\to X$ називається відображенням обернених елементів, якщо $\mu (1\times i)\Delta _{X}$ і $\mu (i\times 1)\Delta _{X}$ є гомотопними відображеннями.

При таких означеннях H-простір може бути асоціативним і мати усі обернені елементи але не бути топологічною групою. Асоціативні H-простори із оберненими елементами є важливими у теорії гомотопій.

Пов'язаним є означення H'-простору. Топологічний простір X називається H'-простором якщо існує неперервне відображення $m:X\to X\vee X$ для якого відображення p₁ m і p₂ m є гомотопними одиничному. Тут p₁ і p₂ є обмеженнями проєкцій із X × X на букет просторів $X\vee X,$ що розглядається як підпростір добутку. Цей простір додатково називається асоціативним, якщо $(m\times 1)m$ і $(1\times m)m$ є гомотопними. Відображення $i:X\to X$ називається відображенням обернених елементів, якщо $\nabla (1\times i)m$ і $\nabla (i\times 1)m$ є гомотопними. Тут також використано позначення відображення $\nabla :X\vee X\to X,$ яке задається так: кожна точка простору $X\vee X$ належить якійсь із двох копій простору X (виділена точка належить відразу обом із подальшою ідентифікацією). Образом такої точки при дії $\nabla$ є відповідна точка простору X.

Приклади ред.

Кожна топологічна група є H-простором.
Теорема Адамса стверджує, що S⁰, S¹, S³ і S⁷ є єдиними сферами, що також є H-просторами. У кожному з цих випадків структуру H-простору можна задати розглядаючи відповідний простір як підмножину з нормою 1 множини дійсних, комплексних чисел, кватерніонів або октоніонів і взявши за операцію множення відповідні операції у цих алгебрах. Простори S⁰, S¹, і S³ при цьому є групами Лі. Натомість S⁷ із цим множенням не є групою оскільки множення октоніонів не є асоціативним. На просторі S⁷ не можна задати неперервне множення для якого цей простір був би групою.
Смеш-добуток $X\wedge Y$ є асоціативним H'-простором з оберненими елементами, якщо такі властивості задовольняє хоча б один із просторів X або Y.
Якщо X є гаусдорфовим простором, а Y — топологічним простором і додатково або X є асоціативним H'-простором з оберненими елементами або X є асоціативним H-простором з оберненими елементами, то простір неперервних відображень із X у Y із компактно-відкритою топологією є асоціативним H-простором з оберненими елементами.
Оскільки S¹ є асоціативним H-простором і H'-простором з оберненими елементами, то з попередніх властивостей випливає, що редукована надбудова $\Sigma X=S^{1}\wedge X$ для будь-якого простору є асоціативним H'-простором з оберненими елементами, а простір петель $\Omega X$ є для будь-якого простору є асоціативним H-простором з оберненими елементами.

Властивості ред.

Мультиплікативна структура H-простору додає структуру його гомологічним і когомологічним групам. Наприклад, когомологічне кільце H-простору із скінченнопородженими і вільними гомологічними групами є алгеброю Хопфа. Також на гомологічних групах H-просторів можна ввести добуток Понтрягіна.

Фундаментальна група H-просторів є комутативною. Справді, нехай X є H-простором з одиницею e і f з g є петлями відносно точки e. Також можна розглянути відображення F: [0,1]×[0,1] → X задане як F(a,b) = f(a)g(b). Тоді F(a,0) = F(a,1) = f(a)e є гомотопною f, і F(0,b) = F(1,b) = eg(b) є гомотопною g. Звідси можна одержати гомотопію між [f][g] і [g][f].

У теорії гомотопій ред.

Якщо X є топологічним простором, а Y — H-простором, обидва із виділеними точками то на множині класів гомотопії [X, Y] неперервних відображень із збереженням виділених точок із X у Y можна ввести натуральну операцію множення. А саме, якщо f і g є двома такими відображеннями і [f] і [g] — їх класи гомотопій , то можна задати множення як $[f]\cdot [g]=[\mu (f\times g)\Delta _{X}].$ Це означення є коректним (не залежить від представників класів гомотопій) і клас гомотопії тотожного відображення, що переводить X у виділену точку простору Y (цей клас гомотопії є виділеною точкою у [X, Y] ) є двостороннім нейтральним елементом для цього множення. Натуральність тут означає, що якщо X' є ще одним топологічним простором із збереженням виділених точок і f: X' → X — неперервне відображення із збереженням виділених точок, то відображення [X, Y] → [X', Y] для якого [g] → [g ∘ f] є гомоморфізмом.
Навпаки, якщо для топологічного простору із виділеною точкою Y для всіх просторів X можна ввести операцію множення, що буде натуральною, як і вище і для якої клас гомотопії тотожного відображення, що переводить X у виділену точку простору Y завжди буде двосторонньою одиницею, то Y є H-простором. Клас гомотопії множення [μ] = [p₁].[p₂] як елемент [Y × Y, Y], де множники є класами гомотопії проєкцій на перший і другий множник у Y × Y.
Введений добуток [X, Y] де Y є H-простором буде асоціативним тоді і тільки тоді коли Y буде асоціативним H-простором і [X, Y] буде групою тоді і тільки тоді, коли додатково у Y є відображення обернених елементів.
Двоїсто, якщо X є H'-простором, а Y — топологічним простором, то на множині класів гомотопії [X, Y] неперервних відображень із збереженням виділених точок із X у Y можна ввести структуру групи за допомогою множення $[f]\cdot [g]=\nabla (f\vee g)m.$ Як і вище клас гомотопії тотожного відображення, що переводить X у виділену точку простору Y є двосторонньою одиницею цього відображення і множення є натуральним, тобто будь-яке неперервне відображення f: Y → Y' із збереженням виділених точок породжує гомоморфізм [X, Y] → [X, Y']. Також якщо для простору X для усіх Y можна ввести множення на [X, Y], що буде натуральним і всі відповідні тотожні відображення будуть двосторонніми нейтральними елементами, то X є H'-простором. Множення буде асоціативним, якщо X є асоціативним H'-простором і всі [X, Y] будуть групами якщо додатково на X є відображення обернених елементів. Для відображення m клас гомотопії [m] = [j₁].[j₂] як елемент [X , X × X], де множники є класами гомотопії включень X у букет просторів X × X.

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ Назву H-простір запропонував Жан-Пєр Серр на честь Гайнца Хопфа (див. J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755).

Література ред.

Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, архів оригіналу за 20 лютого 2012, процитовано 27 травня 2020. Section 3.C
Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
Renzo A. Piccinini (1992), Lectures on Homotopy Theory, North-Holland Mathematics Studies, т. 171, North Holland, ISBN 9780444892386
Stasheff, James D. (1963), Homotopy associativity of H-spaces. I, II, Transactions of the American Mathematical Society, 108: 275—292, 293—312, doi:10.2307/1993609, MR 0158400 {{citation}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка).
Stasheff, James D. (2006), H-spaces from a Homotopy Point of View, Berlin: Springer.
Whitehead, George W. (1978), Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 61, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90336-1

[1] Назву H-простір запропонував Жан-Пєр Серр на честь Гайнца Хопфа (див. J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755).

[1]