Компактно-відкрита топологія

Компактно-відкрита топологія — природна топологія на просторі неперервних відображень між топологічними просторами. Компактно відкрита топологія часто використовується у теорії гомотопій і функціональному аналізі.

Означення ред.

Нехай $C(X,Y)$ — простір неперервних відображень між двома топологічними просторами $X\to Y$ . Компактно-відкритою топологією на цьому просторі називається топологія передбазу якої утворюють множини відображень виду

W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},

де $U\subset Y$ — відкрита множина, а $K\subset X$ — компактний простір.

Приклади ред.

Якщо $*$ є одноточковим топологічним простором то $C (*, Y)$ можна ідентифікувати із $Y$ . При цій ідентифікації компактно-відкрита топологія співпадає із топологією простору $Y$ .
Більш загально, якщо $X$ є дискретним простором, то $C (X, Y)$ можна ідентифікувати із добутком $| X |$ копій простору $Y$ і компактно-відкрита топологія є рівною топології добутку.
Якщо $Y$ є метричним простором (або, більш загально, рівномірним простором), тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології компактної збіжності. Тобто, якщо $Y$ є метричним простором то послідовність ${f n$ } збігається до $f$ у компактно-відкритій топології якщо і тільки якщо для кожної компактної множини $K$ у $X$ , ${f n$ } рівномірно збігається до $f$ на $K$ . Якщо $X$ є компактним простором, а $Y$ — рівномірним простором, тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології рівномірної збіжності.
Компактно-відкрита топологія широко використовується для таких важливих просторів:
- $\Omega (X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=f(1)=x_{0}\}$ , простір петель для $X$ у точці $x_{0}$ .
- $E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0},\ f(1)=x_{1}\}$
- $E(X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}\}$

Властивості ред.

Якщо $X$ є гаусдорфовим простором і $S$ є передбазою простору $Y$ , тоді множини ${V (K, U) : U \in S, K compact$ } утворюють передбазу компактно-відкритої топології на $C (X, Y)$ .
Якщо $Z$ є підпростором $Y$ (із індукованою топологією), то компактно-відкрита топологія на $C (X, Z)$ є індукованою топологією від компактно-відкритої топології на просторі $C (X, Y)$ .
Якщо простір $Y$ задовольняє аксіоми T₀, T₁, є гаусдорфовим, регулярним чи цілком регулярним то такі ж властивості має і компактно відкрита топологія на просторі $C (X, Y)$ .
Якщо $X, Y$ , $A$ і $B$ є топологічними просторами, $f : A \to X$ і $g : Y \to B$ — неперервні відображення, то можна задати відображення $g f : C (X, Y) \to C (A, B)$ як $g f (k) = g \circ k \circ f .$ Дане відображення є неперервним, якщо на $C (X, Y)$ і $C (A, B)$ задано компактно-відкриті топології.

Нехай

W_{K,U}

є елементом передбази простору

C (A, B)

, де

U\subset B

— відкрита множина, а

K\subset A

— компактний простір. Тоді

\left(g^{f}\right)^{-1}(W_{K,U})=\{k\in C(X,Y)\ |\ g\circ k\circ f(K)\subset U\}=\{k\in C(X,Y)\ |\ k\circ f(K)\subset g^{-1}(U)\}.

Але

f (K)

є компактною множиною у

X

, а

g -1 (U)

'відкритою множиною у

Y

. Тому

\left(g^{f}\right)^{-1}(W_{K,U})=W_{f(K),g^{-1}(U)}.

Тобто прообрази елементів передбази простору

C (A, B)

є відкритими підмножинами у

C (X, Y)

і

g f

є неперервним відображенням.

У позначеннях попередньої властивості, якщо $h : C \to A$ і $j : B \to D$ є ще двома неперервними відображеннями, то $(j h) \circ (g f) = (j \circ g) f \circ h .$
Якщо $f, f' : A \to X$ є парою гомотопно еквівалентних відображень і $g, g' : Y \to B$ також є парою гомотопно еквівалентних відображень, тоді $g f$ і $g' f'$ є гомотопно еквівалентними.
Якщо $X, Y$ і $Z$ є топологічними просторами і $Y$ є локально компактним і гаусдорфовим, то відображення $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z),$ задане як $(f, g) \mapsto f \circ g,$ є неперервним (на всіх функційних просторах задана компактно-відкрита топологія, а на $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ — топологія добутку).
Як частковий випадок попередньої властивості, якщо $Y$ є локально компактним і гаусдорфовим, тоді відображення обчислення $e : C (Y, Z) \times Y \to Z$ , задане як $e (f, x) = f (x)$ , є неперервним. Ця властивість зводиться до попередньої, якщо за $X$ взяти одноточковий простір.
Якщо $X, Y$ і $Z$ є топологічними просторами і відображення $f : X \times Y \to Z$ є неперервним, то і відображення $F : Y \to C (X, Z)$ задане як $(F (y))(x) = f (x, y)$ є неперервним (для компактно-відкритої топології на $C (X, Z)$ ). Якщо додатково простір $X$ є локально компактним і гаусдорфовим, то правильним буде і обернене твердження, тобто із неперервності F випливає неперервність f. У цьому випадку одержується бієкція між $C (X \times Y, Z)$ і $C (Y, C (X, Z))$ яка є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів із компактно-відкритими топологіями.
Якщо $X$ є компактним простором і $Y$ — метричним простором і з метрикою $d$ , то компактно-відкрита топологія на $C (X, Y)$ є метризовною із метрикою заданою як $e (f, g) = sup{d (f (x), g (x)) : x \in X},$ для $f, g \in C (X, Y)$ .

Властивості пов'язані із букетом просторів і смеш-добутком ред.

Нижче $\vee$ позначає букет просторів, а $\wedge$ — смеш-добуток просторів, а всі функціональні простори наділені компактно-відкритою топологією.

Якщо $X, Y$ і $Z$ є топологічними просторами і $X, Y$ є гаусдорфовим, то простори $C(X\vee Y,Z)$ і $C(X,Z)\times C(Y,Z)$ є гомеоморфними.
Якщо $X, Y$ і $Z$ є топологічними просторами і $X$ є гаусдорфовим, то простори $C(X,Y\times Z)$ і $C(X,Y)\times C(X,Z)$ є гомеоморфними.
Для топологічних просторів $X, Y$ і $Z$ можна задати відображення:

\alpha :C(X\wedge Y,Z)\to C(X,C(Y,Z))

як

[\alpha (k)(x)](y):=k(x\wedge y),\ \ x\in X,y\in Y,k\in X\wedge Y\to Z.

Для будь-яких просторів це відображення є інєктивним.
Якщо $X$ є гаусдорфовим простором то воно є неперервним.
Якщо $Y$ є локально компактним і гаусдорфовим, то відображення є сюрєктивним.
Якщо $X$ і $Y$ є компактними і гаусдорфовими, то відображення є гомеоморфізмом.

Див. також ред.

Література ред.

О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии [Архівовано 6 Лютого 2007 у Wayback Machine.]
Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619