Визначення
ред.
Нехай
(
M
,
⋅
)
{\displaystyle (M,\cdot )}
множина
M
{\displaystyle M}
бінарною операцією
⋅
{\displaystyle \cdot }
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
M
{\displaystyle M}
рівняння
x
⋅
y
=
e
,
{\displaystyle x\cdot y=e,}
де
y
∈
M
{\displaystyle y\in M}
e
∈
M
{\displaystyle e\in M}
нейтральний елемент відносно операції
⋅
{\displaystyle \cdot }
y
{\displaystyle y}
правим оберненим щодо
x
{\displaystyle x}
Аналогічним чином, якщо виконується:
y
⋅
x
=
e
,
{\displaystyle y\cdot x=e,}
тоді
y
{\displaystyle y}
лівим оберненим до
x
{\displaystyle x}
Елемент
y
∈
M
{\displaystyle y\in M}
x
{\displaystyle x}
x
⋅
y
=
y
⋅
x
=
e
,
{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=e,}
називається просто оберененим щодо
x
{\displaystyle x}
x
−
1
{\displaystyle x^{-1}}
Елемент, для якого існує обернений елемент, називається оборотним . Зауваження
ред.
Наведене вище визначення дане в мультипликативній нотації. Якщо використовується аддитивна нотація
(
M
,
+
)
{\displaystyle (M,+)}
протилежним і позначається
−
x
{\displaystyle -x}
Взагалі кажучи, один і той самий елемент
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
Властивості
ред.
Нехай операція
⋅
{\displaystyle \cdot }
асоціативна . Тоді якщо для елемента
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
Приклади
ред.
Множина
Бінарна операція
Обернений елемент
Дійсні числа
+
{\displaystyle +}
сума )
−
x
{\displaystyle \ -x}
Дійсні числа, що не дорівнюють нулю
⋅
{\displaystyle \cdot }
множення )
1
/
x
{\displaystyle \ 1/x}
Функції виду
f
:
M
→
M
{\displaystyle \ f:M\to M}
∘
{\displaystyle \circ }
композиція функцій )
f
−
1
{\displaystyle \ f^{-1}}
обернена функція )
Див. також
ред.
