Теорема Жордана

У топології, Жорданова крива — це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.

Ілюстрація теореми про Жорданову криву. Жорданова крива (чорним) ділить площину внутрішню (обмежену) область (блакитний) та зовнішню (необмежену) область (рожевий)

Теорема Жордана стверджує, що кожна Жорданова крива ділить площину на дві області — внутрішню область обмежену кривою і зовнішню, що містить всі ближні і дальні зовнішні точки, причому будь-який шлях, який зв'язує точки з двох регіонів перетне цю криву в якійсь точці.

Хоча твердження теореми здається інтуїтивно очевидним, вимагається багато винахідливості, щоб довести її через елементарні логічні пояснення. Прозоріше доведення покладається на математичні механізми алгебраїчної топології, і веде до узагальнення для вищих вимірів.

Теорема названа на честь Каміля Жордана, який першим довів її.

Необхідні визначення і твердження теореми ред.

Крива Жордана або проста замкнена крива в площині R² це образ C як ін'єктивного неперервного відображення кола в площині, φ: S¹ → R². Жорданова лука в площині — образ ін'єктивного неперервного відображення замкненого інтервалу.

Інакше, Жорданова крива — це образ неперервного відображення φ: [0,1] → R² такий, що φ(0) = φ(1) і з обмеженням, що φ в [0,1) є ін'єкцією. Перші дві умови кажуть, що C є неперервною замкненою кривою, тоді як останнє вимагає відсутності самоперетинів.

Нехай C буде Жордановою кривою в площині R². Тоді її доповнення, R² \ C, містить рівно дві зв'язні складові. Одна з цих складових є обмеженою множиною (внутрішня область) і інша необмежена (зовнішня область) і крива C є межею кожної зі складових.

Також, доповнення Жорданової луки в площині зв'язне.

Доведення ред.

Перші відомі доведення теореми Жордана були аналітичними. Лейтзен Брауер узагальнив теорему на вищі розмірності і дав топологічне доведення із застосуванням ідей теорії гомологій. Подане тут доведення використовує редуковані сингулярні гомології і послідовності Маєра — Вієторіса для них.

Доводиться узагальнення для багатовимірних сфер, яке називається також теоремою Жордана — Брауера. Згідно цієї теореми, якщо $S^{n}$ є гіперсферою розмірності n, і $h:S^{k}\to S^{n}$ є вкладенням однієї гіперсфери в іншу (тобто h є гомеоморфізмом на свій образ) то редуковані сингулярні гомології простору $S^{n}\setminus h(S^{k})$ є рівними:

${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(S^{k}))={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&i=n-k+1\\0,&i\neq n-k+1\end{cases}}.$

Оскільки для будь-якого простору X нульова редукована група є рівною $\mathbb {Z} ^{j-1}$ де j є кількістю компонент лінійної зв'язності простору X , із твердження теореми випливає те, що для будь якого вкладення $h:S^{n-1}\to S^{n}$ простір $S^{n}\setminus h(S^{n-1})$ має дві компоненти лінійної зв'язності, а в цьому випадку і дві компоненти зв'язності. Оскільки простір $\mathbb {R} ^{n}$ є гомеоморфним $S^{n}$ без одної точки, то і довільне вкладення $h:S^{n-1}\to R^{n}$ ділить простір $\mathbb {R} ^{n}$ на дві компоненти зв'язності при чому одна є обмеженою, а інша — ні. У випадку $n=2$ кожна жорданова крива є вкладенням $h:S^{1}\to R^{2}$ і з теореми Жордана — Брауера випливає теорема Жордана про криві.

Доведення теореми Жордана — Брауера ред.

Доведення використовує властивість, що редуковані сингулярні групи простору $S^{n}\setminus h(B^{k})$ (де $B^{k}$ є одиничною кулею розмірності k і $h(B^{k})$ теж є вкладенням) є тривіальними. Це можна довести індукцією по розмірності k. Для k = 0, куля $B^{0}$ є точкою і $S^{n}\setminus h(B^{0})$ є гомеоморфним простору $\mathbb {R} ^{n}.$ Оскільки $\mathbb {R} ^{n}$ є стягуваним простором то всі редуковані сингулярні групи $\mathbb {R} ^{n}$ і тому також $S^{n}\setminus h(B^{0})$ є тривіальними.

Для вищих розмірностей зручніше розглядати замість кулі $B^{k}$ гомеоморфний їй куб $I^{k}=[0,1]^{k}$ тої ж розмірності. Нехай твердження є доведеним для деякого невід'ємного цілого числа k -1. Позначимо $A=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/2])$ і $B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [1/2,1]).$ Тоді $A\cup B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ і $A\cap B=S^{n}\setminus h(I^{k}).$ Згідно припущення індукції всі редуковані сингулярні групи $A\cup B=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ є тривіальними. Тому розглядаючи простір $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ і його відкриті підмножини $A,B$ у послідовності Маєра — Вієторіса одержуємо, що усі гомоморфізми ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}A\oplus {\tilde {H}}_{i}B$ є ізоморфізмами. За означенням послідовності Маєра — Вієторіса обидві компоненти цього ізоморфізму ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}A$ і ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(I^{k}))\to {\tilde {H}}_{i}B$ є породженими відображенням вкладення (з точністю до множення на -1). Тому якщо $\alpha$ є циклом у $S^{n}\setminus h(I^{k}),$ що не є границею у цьому просторі, то $\alpha$ також не є границею хоча б у одному із просторів $A,B.$ Якщо вона не є границею у просторі $A$ то можна ввести простори $A_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/4])$ і $B_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [1/4,1/2]).$ Тоді $A_{1}\cup B_{1}=S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{1/4\})$ і $A_{1}\cap B_{1}=A.$ За допомогою аргументів аналогічних до попередніх одержуємо, що $\alpha$ також не є границею хоча б у одному із просторів $A_{1},B_{1}.$ Продовжуючи надалі такий процес одержуємо послідовність вкладених замкнутих інтервалів $I_{m}=\left[{i-1 \over 2^{m}},{i \over 2^{m}}\right],\quad i\in 1,\ldots m$ для яких $\alpha$ не є границею у просторах $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times I_{m})$ . Згідно леми про вкладені відрізки ці інтервали прямують до деякої спільної точки $p\in [0,1].$ Згідно припущення індукції усі редуковані сингулярні гомологічні групи простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times \{p\})$ є тривіальними, а тому $\alpha$ є границею, тобто $\alpha =\partial \beta$ для деякого $\beta .$ Але $\beta$ є формальною сумою скінченної кількості сингулярних симплексів із цілими коефіцієнтами. Оскільки і об'єднання скінченної кількості сингулярних симплексів і $h(I^{k-1}\times \{p\})$ є компактними підмножинами сфери, то можна знайти також таке $\varepsilon >0,$ що всі сингулярні симплекси із $\beta$ належать простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ])$ але тоді і границя $\beta$ тобто $\alpha$ теж належить простору $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ])$ . Проте для деякого m інтервал $I_{m}\subset [p-\varepsilon ,p+\varepsilon ]$ . Тоді на $S^{n}\setminus h(I^{k-1}\times I_{m})$ також $\alpha =\partial \beta ,$ що суперечить вибору інтервалу $I.$ Тобто $\alpha$ має бути границею уже в $S^{n}\setminus h(I^{k})$ і тому всі редуковані сингулярні групи цього простору є тривіальними. Це завершує крок індукції і доведення властивості для просторів $S^{n}\setminus h(B^{k})$ .

Для доведення твердження для просторів $S^{n}\setminus h(S^{k})$ теж використовується індукція . Для по розмірності k. Для k = 0, простір $S^{0}$ є двома точками і $S^{n}\setminus h(S^{0})$ є гомеоморфним $S^{n-1}\times \mathbb {R}$ і його редуковані сингулярні групи є рівними групам для гіперсфери $S^{n-1},$ тобто ${\tilde {H}}_{n-1}(S^{n}\setminus h(S^{0}))=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи є тривіальними. Тобто твердження теореми у цьому випадку є вірним.

Припустимо, що теорема є доведеною для деякого невід'ємного цілого числа k -1. Сферу $S^{k}$ можна подати як об'єднання двох півсфер $S_{+}^{k}$ і $S_{-}^{k}$ (які є гомеоморфними кулі $B^{k}$ ) перетин яких є рівним $S^{k-1}.$ Позначимо $A=S^{n}\setminus h(S_{+}^{k})$ і $B=S^{n}\setminus h(S_{-}^{k}).$ Тоді $A\cup B=S^{n}\setminus h(S^{k-1})$ і $A\cap B=S^{n}\setminus h(S^{k}).$ Також із попереднього всі редуковані сингулярні групи просторів $A,B$ є тривіальними. Підставляючи простори у послідовність Маєра — Вієторіса одержуємо ізоморфізми ${\tilde {H}}_{i}(S^{n}\setminus h(S^{k})\simeq {\tilde {H}}_{i+1}(S^{n}\setminus h(S^{k-1}).$ Але за припущенням індукції ${\tilde {H}}_{n-k+2}(S^{n}\setminus h(S^{k-1})=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи для $S^{n}\setminus h(S^{k-1})$ є тривіальними. Тому з одержаного ізоморфізму ${\tilde {H}}_{n-k+1}(S^{n}\setminus h(S^{k})=\mathbb {Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи для $S^{n}\setminus h(S^{k})$ є тривіальними, що і треба було довести.