Зв'язний простір

Зв'язний простір — топологічний простір, який не можна подати у вигляді об'єднання двох неперетинних відкритих множин. Зв'язність є однією з основних топологічних властивостей, що застосовуються для розрізнення топологічних просторів.

Зв'язані і незв'язані простори в R². Простір A зверху є зв'язним; затемнений простір B внизу — не є.

Зазвичай достатньо просто думати про те, що не є зв'язним. Простим прикладом може бути простір, що складається з двох прямокутників, кожен з яких є простором, і не перетинається з іншим. Простір не є зв'язним, тому що два прямокутники не зв'язані. Можна також навести ще один простий приклад простору, в якому вирізали кільце. Простір не є зв'язним тому що ми не можемо з'єднати дві точки, одна з яких лежить у кільці, а інша ззовні.

Формальне означення

Такі означення еквівалентні. Топологічний простір $(X,\mathrm {T} )$ називається зв'язним, якщо:

1. Єдиними одночасно відкритими і замкнутими множинами є лише $X$ та $\emptyset$.
2. $X$ не можна подати як об'єднання двох не порожніх розділених множин.
3. $X$ не можна поділити на дві замкнені непорожні множини без перетинів.
4. Єдиними множинами, границя яких є пустою є лише $X$ та $\emptyset$.

Приклади

• $\mathbb {R}$ зі стандартною топологією є зв'язним топологічним простором.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)