Раціональна поверхня

Раціональна поверхня — це поверхня, біраціонально еквівалентна проєктивній площині, або, іншими словами, раціональний многовид розмірності два. Раціональні поверхні є найпростішими з приблизно 10 класів поверхонь класифікації Енрікеса — Кодайри комплексних поверхонь, і це були перші досліджені поверхні.

Структура

Будь-яку неособливу раціональну поверхню можна отримати неодноразовим роздуттям мінімальної раціональної поверхні. Мінімальними раціональними поверхнями є проєктивна площина і поверхні Гірцебруха $\Sigma _{r}$ для $r=0$ або $r\geq 2$.

Інваріанти: Всі плюрироди^{[уточнити]} рівні 0 і фундаментальна група тривіальна.

Ромб Ходжа:

         1
      0     0
   1    1+n    1,
      0     0
         1

де n дорівнює 0 для проєктивної площини, 1 для поверхонь Гірцебруха і більше від 1 для інших раціональних поверхонь.

Група Пікара є непарною унімодулярною ґраткою $I_{1,n}$, за винятком поверхонь Гірцебруха $\Sigma _{2m}$, для яких це парна унімодулярна ґратка _{$II_{1,1}$}.

Теорема Кастельнуово

Гвідо Кастельнуово довів, що будь-яка комплексна поверхня, для якої $q$ і $P_{2}$ (іррегулярність і другий плюрирод) дорівнюють нулю, є раціональною. Це використовується в класифікації Енрікеса — Кодайри для розпізнавання раціональних поверхонь. Зарицький довів, що теорема Кастельнуово істинна також для полів додатної характеристики.

З теореми Кастельнуово випливає також, що будь-яка уніраціональна комплексна поверхня раціональна. Більшість уніраціональних комплексних многовидів розмірності 3 і вище не є раціональними. Для характеристики $p>0$ Зарицький знайшов приклад уніраціональних поверхонь (поверхні Зарицького), які не є раціональними.

Деякий час було неясно, чи є комплексні поверхні з нульовими $q$ і $P_{1}$ раціональними, але Федеріго Енрікес знайшов контрприклад (поверхня Енрікеса).

Приклади раціональних поверхонь

• Поверхні Бордіга: вкладення степеня 6 проєктивної площини в $P^{4}$, визначене 10 точками в загальному положенні.
• Поверхні Шатле
• Поверхні Кобла
• Кубічні поверхні. Неособливі кубічні поверхні ізоморфні роздуттю проєктивної площини в 6 точках, і є площинами Фано. Існують іменовані приклади — кубика Ферма, кубічна вузлова поверхня Келі і діагональна поверхня Клебша.
• Поверхні дель Пеццо (поверхні Фано)
• Поверхня Еннепера
• Поверхні Гірцебруха $\Sigma _{n}$
• $P^{1}\times P^{1}$. Добуток двох проєктивних прямих є поверхнею Гірцебруха $\Sigma _{0}$_.
• Проєктивна площина
• Поверхня Сеґре. Перетин двох квадрик. Поверхня ізоморфна проєктивній площині, роздутій у 5 точках.
• Поверхня Штайнера. Поверхня в $P^{4}$ з особливостями, яка біраціональна проєктивній площині.
• Поверхні Вайта, узагальнення поверхонь Бордіга.
• Поверхня Веронезе. Вкладення проєктивної площини в $P^{5}$.

Див. також

• Список алгебричних поверхонь

Література

• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Berlin : Springer-Verlag. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge) — ISBN 978-3-540-00832-3.
• Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts) — ISBN 978-0-521-49510-3.
• Oscar Zariski. On Castelnuovo's criterion of rationality p_a = P₂ = 0 of an algebraic surface // Illinois Journal of Mathematics. — 1958. — Т. 2 (21 квітня). — С. 303–315. — ISSN 0019-2082.