Призматичний однорідний многогранник

Призмати́чний однорі́дний многогранник — однорідний многогранник з діедричною симетрією. Вони утворюють два нескінченних сімейства: однорідні призми та однорідні антипризми. Всі вони мають вершини на двох паралельних площинах, а тому всі є призматоїдами.

Пентаграмна антипризма з двох правильних пентаграм і 10 рівнобедрених трикутників.

Вершинна конфігурація та групи симетрії

Оскільки вони є ізогональними (вершинно-транзитивними), їхнє розташування вершин однозначно відповідає групам симетрії .

Різниця між призматичними та антипризматичними групами симетрії полягає в тому, що D_ph має ребра, які зв'язують вершини на двох площинах, перпендикулярні цим площинам, що задає площину симетрії, паралельну многокутникам, тоді як D_pd має ребра, що схрещуються, що дає обертову симетрію. Кожне тіло має p площин відбитків, які містять p-кратні осі многокутників.

Група симетрії D_ph містить центральну симетрію тоді й лише тоді, коли p парне, тоді як D_pd містить центральну симетрію тоді й лише тоді, коли p непарне.

Список

Існують:

• Призми для кожного раціонального p/q > 2 з групою симетрії D_ph;
• Антипризми для кожного раціонального p/q > 3/2 з групою симетрії D_pd, якщо q непарне, і D_ph, якщо парне.

Якщо p/q є цілим числом, тобто. q = 1, призма або антипризма опукла. (Дріб завжди вважається нескоротним.)

Антипризма з p/q < 2 є самоперетинною або виродженою, її вершинна фігура схожа на краватку-метелика. З p/q ≤ 3/2 однорідних антипризм не існує, оскільки їхня вершинна фігура порушила б нерівність трикутника.

Малюнки

Зауваження: тетраедр, куб і октаедр перераховані нижче як такі, що мають діедричну симетрію (як діагональна антипризма, квадратна призма і трикутна антипризма відповідно), хоча, при однорідному розфарбовуванні, тетраедр також має симетрію тетраедричну, а куб і октаедр мають октаедричну.

Група симетрії	Опуклий	Зірчасті форми
d2d [2+,2] (2*2)	3.3.3
d3h [2,3] (*223)	3.4.4
d3d [2+,3] (2*3)	3.3.3.3
d4h [2,4] (*224)	4.4.4
d4d [2+,4] (2*4)	3.3.3.4
d5h [2,5] (*225)	4.4.5	4.4.5/2	3.3.3.5/2
d5d [2+,5] (2*5)	3.3.3.5	3.3.3.5/3
d6h [2,6] (*226)	4.4.6
d6d [2+,6] (2*6)	3.3.3.6
d7h [2,7] (*227)	4.4.7	4.4.7/2	4.4.7/3	3.3.3.7/2	3.3.3.7/4
d7d [2+,7] (2*7)	3.3.3.7	3.3.3.7/3
d8h [2,8] (*228)	4.4.8	4.4.8/3
d8d [2+,8] (2*8)	3.3.3.8	3.3.3.8/3	3.3.3.8/5
d9h [2,9] (*229)	4.4.9	4.4.9/2	4.4.9/4	3.3.3.9/2	3.3.3.9/4
d9d [2+,9] (2*9)	3.3.3.9	3.3.3.9/5
d10h [2,10] (*2.2.10)	4.4.10	4.4.10/3
d10d [2+,10] (2*10)	3.3.3.10	3.3.3.10/3
d11h [2,11] (*2.2.11)	4.4.11	4.4.11/2	4.4.11/3	4.4.11/4	4.4.11/5	3.3.3.11/2	3.3.3.11/4	3.3.3.11/6
d11d [2+,11] (2*11)	3.3.3.11	3.3.3.11/3	3.3.3.11/5	3.3.3.11/7
d12h [2,12] (*2.2.12)	4.4.12	4.4.12/5
d12d [2+,12] (2*12)	3.3.3.12	3.3.3.12/5	3.3.3.12/7
…

Див. також

• Однорідний многогранник
• Призма (математика)
• Антипризма

Література

• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916. — С. 401–450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
• P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge University Press, 1997. — С. 175. — ISBN 0-521-55432-2.
• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вип. 3. — С. 447–457. — DOI:10.1017/S0305004100052440..

Посилання

• Prisms and Antiprisms George W. Hart