Пентаграма

Правильна пентаграма
Пентаграма — правильна п'ятипроменева зірка
Тип многокутника	Зірка
Ребра і вершини	5
Символ Шлефлі	{5/2}
Діаграма Коксетера–Динкіна
Група симетрії правильних многокутників	D5 (Порядок 10)
Внутрішній кут (градусів)	36°

Пентагра́ма (пентальфа, пентагерон; грец. πεντάγραμμον від πέντε — «п'ять» і γράμμα — «риска, лінія») — геометрична фігура, утворена правильним п'ятикутником і рівнобедреними рівновисокими трикутниками, побудованими назовні п'ятикутника на його сторонах як на основах. Зокрема, трикутники можуть бути рівносторонніми або утвореними продовженнями сторін п'ятикутника, взятими через одну. Остання пентаграма є правильною п'ятипроменевою зіркою (зірчастим многокутником), яка також може бути утворена всіма діагоналями правильного п'ятикутника.

Пентаграма використовувалася як символ в Стародавній Греції і Вавилонії, і використовується сьогодні як символ віри в багатьох^{[джерело не вказане 2197 днів]} неоязичницьких релігіях, подібно як хрест у християн чи гексаграма в юдеїв. Пентаграму пов'язують з магією, і багато людей, які практикують новоязичництво, вірять в силу ювелірних виробів із зображенням пентаграми, носячи їх. Християни ж зазвичай використовують пентаграму для символічного зображення п'яти святих ран Ісуса.^{[джерело не вказане 2197 днів]} Пентаграму асоціюють також з масонством, про неї пишуть фантасти, нетрадиційні історики тощо.

Пентакль, за Оксфордським словником англійської мови, це дископодібний предмет із зображенням пентаграми.

Символічне значення

П'ятипроменева зірка — символ дохристиянської епохи, його використовували під час поклоніння силам Природи. Давні люди ділили весь світ на дві половини — чоловічу та жіночу (боги й богині, що зберігали баланс сил). Пентаграма, або пентакль, символізує жіночу половину всього земного. Цей символ часто називають «священним жіночим початком», або «священною богинею». Інакше цей символ інтерпретують, як богиню Венеру. Ранні релігії відштовхувались від божественості Природи, а богиня Венера і планета Венера — одне і те ж. Кожні вісім років Венера робить абсолютно правильну пентаграму по великому колу небесної сфери. Давні люди помітили це явище і проголосили Венеру та п'ятипроменеву зірку символом досконалості, краси та сексуальності. Шануючи це явище, древні греки влаштовували Олімпійські ігри кожні вісім років, а сучасні змагання — половинний цикл Венери. Саме п'ятипроменева зірка мала стати символом Ігор, проте згодом вирішили, що п'ять кілець краще відображають атмосферу заходу. Алхіміки, чорнокнижники та ін. вважали пентаграму захистом від диявола. Так, Гете у трагедії «Фауст» описав, що Мефістофель проник до помешкання Фауста, скориставшись невеличким проміжком у куточку начертаної на будинку пентаграми. Демонічна інтерпретація зірки історично невірна. Значення пентаграми було спаплюжено Римською католицькою церквою на ранньому етапі її розвитку, це була частина компанії Ватикану зі знищення язичницьких релігій.

Історія

Пентаграми на зображенні Анубіса у вигляді шакала, який сидить на гробниці. Реконструкція зображення періоду Нового царства

Перші зображення пентаграми датуються приблизно 3500 р. до н. е., це намальовані на глині п'ятипроменеві зірки, знайдені на руїнах стародавнього міста Урука. Зображення пентаграм зустрічаються і на єгипетських статуях. Як пише у своїй «Новій Енциклопедії Франк-масонства» Артур Вейт, єгиптяни називали пентаграму «зіркою песиголового Анубіса».

Геометрія

• 
  Пентаграма утворена діагоналями п’ятикутника. (Пентаграма і п’ятикутник, в який вона вписана, утворюють повний граф із 5 вершинами)
• 
  Пентаграма, променями якої є рівносторонні трикутники

Золотий перетин у пентаграмі

Золотий перетин виступає у правильній пентаграмі, який вважався магічним символом у багатьох культурах. Точка перетину сторін ділить їх у золотій пропорції. Більша частина сторони також ділиться у золотій пропорції іншою точкою перетину.

Пентаграма містить п'ять гострокутних та п'ять тупокутних золотих трикутників. У кожному з них співвідношення довжини довшої та коротшої сторони утворює золотий перетин.

Якщо побудувати нескінченну пентаграму [1](продовжити «правильну п'ятипроменеву зірку» п'ятикутниками і «вістряками» назовні і всередину) і надати якомусь її відрізку значення 1,000 — отримаємо ряд чисел, який є послідовними степенями числа Ф (фі): Ф⁰ = 1,000. ., Ф¹ = 1,6180339 …, Ф² = 2,6180339 …, Ф³ = 4,2360679…, Ф⁴ = 6,8541019 …, Ф⁵ = 11,0901699 .., і «всередину» (в сторону менше 1,00): Ф⁻¹ = 0,6180339 …, Ф⁻² = 0,3819660 …, Ф⁻³ = 0,2360679 …, Ф⁻⁴ = 0,1458980 …. Можна виявити дивну властивість цих двох послідовностей («назовні» і «всередину» від одиниці): парні степені Ф дають ЦІЛІ ЧИСЛА при додаванні: Фⁿ + Ф^-n, а непарні — при відніманні Фⁿ — Ф^-n. В результаті отримуємо цілочисельний ряд 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, .., названий «рядом Люка». Ряд Фібоначчі виходить схожим чином, при діленні на V5 (корінь з 5): (Фⁿ + Ф^-n) / V5 для непарних n = 2k + 1 і (Фⁿ — Ф^-n )/ V5 для парних n = 2k (тут навпаки: непарні степені Ф додаються, а парні — віднімаються). Обидві формули вивів в 19 столітті французький математик Жак Філіп Марі Біне (1786—1856).

Варто також зауважити, що будь-який ряд, з будь-якими початковими числами, у якого наступний член виходить додаванням двох попередніх Х n+1 = Xn + X n-1, — у великих числах (при n → ∞) прагне до «золотого співвідношення» між сусідніми членами. Тобто до класичної формули знаходження числа Ф через V5: Ф = (1 + V5) / 2 ми можемо додати ще дві: Ф як границя співвідношення між сусідніми членами будь-якого ряду Фібоначчі: Ф = lim (X_n / X _n-1) при n → ∞, і третя формула виходить з геометрії пентаграми: Ф = 2cos36^о або Ф = (1/sin18^о)/2.

Див. також

• П'ятипроменева зірка
• Зірка (геральдика)
• Зірка
• Червона зірка

Посилання

• Пентаґрам // Українська мала енциклопедія : 16 кн. : у 8 т. / проф. Є. Онацький. — Буенос-Айрес, 1962. — Т. 5, кн. X : Літери Ол — Пер. — С. 1319. — 1000 екз.

• LuckyPentacle.com Відроджене мистецтво укладання особистих пентакля і пентаграми(рос.)
• Значения разных видов пентаграмм и история их возникновения Виды пентаграмм и их значение в истории колдовства // Пентаграма на сайті [www.grimuar.info Гримуар — Мир непознанного] (рос.)
• Аракелян Г. Б. История пентаграммы, с. 207—270. Гл. 6 в его кн.: Математика и история золотого сечения. М.: Логос, 2014, 404 с. ISBN 978-5-98704-663-0.