Повне кільце часток

У комутативній алгебрі, повне кільце часток є узагальнення поля часток на комутативні кільця R, що не обов'язково є областями цілісності, тобто можуть мати дільники нуля.

Означення

Нехай $R$ є комутативним кільцем і $S$ — множина елементів, які не є дільниками нуля у $R$; тоді $S$ є мультиплікативною множиною. Локалізація кільця $R$ по множині $S$ (позначається $S^{-1}R=Q(R)$) називається повним кільцем часток кільця $R$.

Якщо $R$ є областю цілісності, то $S=R-\{0\}$ і повне кільце часток є полем часток.

Оскільки $S$ не містить дільників нуля, то природне відображення $R\to Q(R)$ є ін'єкцією і повне кільце часток є розширенням кільця $R$.

Приклади

• Повне кільце часток кільця голоморфних функцій на відкритій множині D є кільцем мероморфних функцій на D, навіть якщо D не є зв'язаною множиною.
• У кільці Артіна, всі елементи є оборотними або дільниками нуля. Тобто множина елементів, що не є дільниками нуля є групою оборотних елементів, тож $Q(R)=R$.
• Таку ж властивість мають комутативні, регулярні за фон Нейманом кільця R. Нехай $a\in R$ не є дільником нуля. Тоді a = axa для деякого x у кільці R, що дає рівність a(xa − 1) = 0. Оскільки a не є дільником нуля, xa = 1, то a є оборотним елементом. Тому $Q(R)=R$.

Властивості

• Повне кільце часток $Q(A\times B)$ добутку кілець є добутком повних кілець часток $Q(A)\times Q(B)$. Зокрема якщо A і B є областями цілісності, то повне кільце часток їх добутку є добутком полів.
• Для кільця $R$ і мультиплікативної множини $S\subset R$ елементи якої не є дільниками нуля $Q(R)\cong Q(S^{-1}R)$. Зокрема $Q(R)\cong Q(Q(R))$.

Якщо $x\in S^{-1}R$ не є дільником нуля і $x=r/f$ для $r\in R$ і $f\in S$, тоді $r$ не є дільником нуля у $R$. Тому $y=s/x\in Q(S^{-1}R),$ де $s=t/u,\ t\in R,u\in S$ має вигляд $y=(tf)/(ru)\in Q(R).$ Тож $Q(S^{-1}R)\subset Q(R).$ Обернене включення відразу випливає з властивостей локалізації.

• Нехай кільце $R$ має скінченну кількість мінімальних простих ідеалів ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{t}$ і об'єднання ${\mathfrak {q}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {q}}_{t}$ є множиною дільників нуля кільця $R$ (такі властивості задовольняє, наприклад, нетерове редуковане кільце). Тоді повне кільце часток $Q(R)$ є рівним $R_{{\mathfrak {q}}_{1}}\times \ldots \times R_{{\mathfrak {q}}_{t}}$.

Розглянемо природні гомоморфізми $Q(R)\to R_{{\mathfrak {q}}_{i}},$ які є коректно визначені оскільки всі елементи, що не є дільниками нуля належать $R\setminus {\mathfrak {q}}_{i}$. Звідси одержується також натуральний гомоморфізм $Q(R)\to R_{{\mathfrak {q}}_{1}}\times \ldots \times R_{{\mathfrak {q}}_{t}}$. Для немінімального простого ідеалу ${\mathfrak {p}}\subset R$ з властивостей простих ідеалів ${\mathfrak {p}}\not \subset {\mathfrak {q}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {q}}_{t}$ і за умовою ${\mathfrak {p}}$ містить елементи, що не є дільниками нуля. Тобто єдиними простими ідеалами кільця $R,$ що не містять елементів, що не є дільниками нуля є $\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{t}\}$ і їх породжені їх образами при локалізації ідеали є єдиними елементами спектру $\mathop {\mathrm {Spec} } (Q(R)).$ Тому $\mathop {\mathrm {Spec} } (Q(R))$ є скінченною дискретною множиною і з властивостей спектру кільця у цьому випадку $Q(R)=A_{1}\times \ldots \times A_{t}$ де $\mathop {\mathrm {Spec} } (A_{i})=\{q_{i}\}$. Також $A_{i}$ є локалізацією кільця $R$. Тому $A_{i}\cong R_{{\mathfrak {q}}_{i}}$.

Див. також

• Локалізація кільця
• Поле часток

Посилання

• The Stacks project. 10.24 Zerodivisors and total rings of fractions.

Література

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9