Область цілісності  — поняття абстрактної алгебри: комутативне кільце з одиницею, в якому і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова виключає з розгляду тривіальне кільце .

Еквівалентне визначення: область цілісності — комутативне кільце, в якому нульовий ідеал є простим.

Приклади ред.

  • Простий приклад області цілісності — кільце цілих чисел  .
  • Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артінова область цілісності є полем. Зокрема, всі скінченні області цілісності є скінченними полями.
  • Кільце многочленів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце   многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце   многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
  • Множина дійсних чисел виду   є підкільцем поля  , і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про множину комплексних чисел виду  , де   і   цілі.
  • Нехай  зв'язна відкрита підмножина комплексної площини  . Тоді кільце   всіх голоморфних функцій   буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного многовиду.
  • Якщо   — комутативне кільце, а   — ідеал в  , то фактор-кільце   цілісне тоді і тільки тоді, коли   — простий ідеал.
  • Кільце p-адичних цілих чисел.
  • Фактор-кільце   де m є складеним числом не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа   (де   і   не є рівними   чи  ). Тоді   і  , але  .
  • Коли ціле число   є квадратом цілого числа тобто  , кільце   не є областю цілісності. У цьому випадку   у  і образи многочленів   у фактор-кільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю.
  • Кільце матриць розмірності   над довільним ненульовим кільцем для   не є областю цілісності.
  • Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції
 
не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток   є нульовою функцією.
  • Тензорний добуток   не є областю цілісності. У цьому кільці існують два ідемпотенти   і   добуток яких  .

Подільність, прості незвідні елементи ред.

Нехай   і   — елементи цілісного кільця  . Говорять, що «  ділить  » або «  — дільник  » (і пишуть  ), якщо і тільки якщо існує елемент   такий, що  .

Подільність транзитивна: якщо   ділить   і   ділить  , то   ділить  . Якщо   ділить   і  , то   ділить також їх суму   і різниця  .

Для кільця   з одиницею елементи  , які ділять  , називаються оборотними або дільниками одиниці. Елементи   і   називаються асоційованими, якщо   ділить   і   ділить  .   і   асоційовані тоді і тільки тоді, коли  , де   — оборотний елемент.

Ненульовий елемент  , що не є оборотним називається незвідним, якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.

Ненульовий необоротний елемент   називається простим, якщо з того, що  , слідує   або  . Це визначення узагальнює поняття простого числа в кільці  , проте враховує і негативні прості числа. Якщо   — простий елемент кільця, то породжуваний ним головний ідеал   буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.

Властивості ред.

  • Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є областю цілісності.
    • Навпаки, будь-яка область цілісності може бути вкладена в деяке поле. Таке вкладення дає конструкція поля часток.
  • Якщо   — область цілісності, то кільце многочленів і кільце формальних степеневих рядів над   також будуть областями цілісності.
  • Якщо   — комутативне кільце з одиницею і   — деякий ідеал  , то кільце   є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал   є простим.
  • У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо  , то з рівності   випливає  . Навпаки, якщо для кожного елемента   рівності   випливає   то комутативне кільце є областю цілісності.
  • Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його спектр є незвідним топологічним простором.
  • Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
  • Тензорний добуток цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
  • Характеристика області цілісності є або нулем, або простим числом.
  • Теорема Веддерберна: довільна скінченна область цілісності є полем.
  • Область цілісності   є рівною перетину локалізацій   по всіх максимальних ідеалах  
Оскільки  для всіх максимальних ідеалів  , то також  
Навпаки нехай  але   Множина   є власним ідеалом у   (оскільки  ). Тому   міститься у деякому максимальному ідеалі  . За умовою   тобто можна записати   Але тоді   і тому має бути   Одержане протиріччя завершує доведення.

Варіації і узагальнення ред.

Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад кватерніони з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.

Література ред.

Українською
  • (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
  • Бондаренко Є.В. (2012). Теорія кілець: навчальний посібник. Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64.  (укр.)
Іншими мовами
  • Adamson Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
  • Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-19373-9
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract algebra (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-36857-1
  • Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967), Algebra, New York: The Macmillan Co., MR0214415