Морфізм алгебричних многовидів

В алгебричній геометрії, морфізмом між алгебричними многовидами називається відображення між многовидами, що локально є многочленом. Морфізми також називають регулярними відображеннями. Морфізм із алгебричного многовида в афінну пряму називається регулярною функцією.

Регулярне відображення, для якого існує обернене відображення, що теж є регулярним називається бірегулярним. Бірегулярні відображення є ізоморфізмами у категорії алгебричних многовидів. Загалом регулярність і бірегулярність є досить сильними умовами, наприклад єдиними регулярними функціями на проєктивних многовидах є константи. Тому часто при вивченні алгебричних многовидів використовують слабші властивості відображень, зокрема раціональність і біраціональність.

Означення

Якщо X і Y є підмноговидами афінних просторів Aⁿ і A^m, то регулярне відображення ƒ:X→Y є обмеженням поліноміального відображення Aⁿ→A^m. Тобто відображення має вид

f=(f_{1},\dots ,f_{m})

де $f_{i}$ належать координатному кільцю многовида X:

k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,

а I — ідеал, що визначає X, і образ $f(X)$ належить Y; тобто задовольняє поліноміальні рівняння, що визначають Y. (Два многочлени f і g задають одну функцію на X якщо і тільки якщо f − g належить ідеалу I.)

Для проєктивних чи квазіпроєктивних многовидів, відображення ƒ:X→Y між двома многовидами називається регулярним в точці x якщо існує окіл U точки x і окіл V точки ƒ(x) для яких ƒ(U) ⊂ V і обмеження відображення ƒ:U→V є регулярним як відображення між деякими афінними картами на U і V. Відображення ƒ називається регулярним, якщо воно є регулярним в усіх точках X. Якщо X і Y є афінними, то два подані вище означення регулярності відображення ƒ:X→Y є еквівалентними (афінні многовиди є квазіпроєктивними).

У загальному випадку X і Y є абстрактними алгебричними многовидами, тобто певним видом окільцьованих просторів і відображення ƒ:X→Y між ними називається регулярним, якщо воно є морфізмом локально окільцьованих просторів.

Композиція регулярних відображень є регулярним відображенням; тому алгебричні многовиди утворюють категорію морфізмами якої є регулярні відображення.

Регулярні відображення між афінними многовидами утворюють контраваріантну однозначну відповідність з гомоморфізмами між координатними кільцями: якщо ƒ:X→Y є морфізмом афінних многовидів, тоді він задає k-гомоморфізм

f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f

де $k[X],k[Y]$ — координатні кільця многовидів X і Y; дане означення є добре заданим оскільки $g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})$ є многочленом щодо елементів $k[X]$ . Навпаки, якщо $\phi :k[Y]\to k[X]$ є k-гомоморфізмом афінних алгебр, то він задає морфізм

\phi ^{a}:X\to Y

таким чином: записавши $k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,$

\phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))

де ${\overline {y}}_{i}$ є образами елементів $y_{i}$ .

Виконуються рівності ${\phi ^{a}}^{\#}=\phi$ і ${f^{\#}}^{a}=f.$ Зокрема, f є ізоморфізмом афінних многовидів, якщо і тільки якщо f^# є ізоморфізмом координатних кілець.

Наприклад, якщо X є замкнутим підмноговидом афінного многовида Y і ƒ є включенням, то ƒ^# є обмеженням регулярної функції з Y на X.

Регулярні функції

Якщо Y є рівним A¹ регулярне відображення ƒ:X→A¹ називається регулярною функцією. Регулярні функції є алгебричним аналогом гладких функцій у диференціальній геометрії. Кільце регулярних функцій є фундаментальним об'єктом досліджень афінної алгебричної геометрії. Єдиними регулярними функціями на є константи (цей факт можна розглядати як алгебричний аналог теореми Ліувіля в комплексному аналізі).

Функція ƒ:X→A¹ є регулярною в точці x якщо, в деякому афінному околі точки x, вона є раціональною функцією регулярною в точці x; тобто якщо існують деякі регулярні функції g, h в афінному околі x, такі що f = g/h і h не рівна нулю в точці x.

Якщо X є квазіпроєктивним многовидом, тобто відкритим підмноговидом проєктивного многовида, тоді поле функцій k(X) є рівним полю функцій замикання ${\overline {X}}$ многовида X і тому раціональні функції на X мають вид g/h для деяких однорідних елементів g, h однакового степеня $k[{\overline {X}}]$ від однорідних координат проєктивного многовида ${\overline {X}}$ . Тоді раціональна функція f на X є регулярною в точці x, якщо і тільки якщо існують однорідні елементи g, h однакового степеня в $k[{\overline {X}}]$ , для яких f = g/h і h не рівний нулю в точці x. Цю властивість можна також взяти за означення регулярних функцій.

Порівняння з морфізмами схем

Якщо X = Spec A і Y = Spec B є афінними схемами, тоді гомоморфізм кілець φ : B → A задає морфізм схем

\phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})

визначений через прообрази простих ідеалів. Всі морфізми афінних схем задаються подібним чином і за допомогою склеювання таких морфізмів вводиться поняття морфізмів загальних схем.

Якщо X, Y є афінними многовидами, тобто A і B є областями цілісності і скінченнопородженими алгебрами над алгебрично замкнутим полем k, то, розглядаючи лише замкнуті точки, отримуємо еквівалентне означення регулярності відображення. (Доведення: якщо ƒ : X → Y є морфізмом, то записавши $\phi =f^{\#}$ , потрібно довести, що

{\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})

де ${\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}$ є максимальними ідеалами точок x і f(x); тобто, ${\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}$ . Це відразу випливає з означень.)

Як наслідок категорію афінних многовидів можна ідентифікувати як повну підкатегорію категорії афінних схем над полем k. Оскільки морфізми довільних многовидів одержуються склеюваннями морфізмів афінних многовиди як і морфізми схем з морфізмів афінних схем, категорія многовидів є повною підкатегорією категорії схем над полем k.

Приклади

Регулярними функціями на Aⁿ є многочлени від n змінних; регулярними функціями на Pⁿ є лише константи.
Нехай X — афінна крива $y=x^{2}$ . Тоді відображення

f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x

є морфізмом; воно є бієкцією із оберненим відображенням

g(x)=(x,x^{2})

. Оскільки g теж є морфізмом, то f є ізоморфізмом многовидів.

Нехай X — афінна крива $y^{2}=x^{3}+x^{2}$ . Тоді

f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)

є морфізмом. Йому відповідає гомоморфізм кілець

f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),

який є ін'єктивним (оскільки f є сюр'єктивним).

В попередньому прикладі, нехай U = A¹ − {1}. Оскільки U є доповненням гіперплощини t = 1, то U є афінним многовидом. Відображення $f:U\to X$ є бієкцією. Але відповідний гомоморфізм кілець є включенням $k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]$ , що не є ізоморфізмом, тож f |_U теж не є ізоморфізмом многовидів.
Нехай X — афінна крива x² + y² = 1 і

f(x,y)={1-y \over x}

.

Тоді f є раціональною функцією на X. Вона є регулярною на (0, 1) оскільки як раціональна функція на X, f може бути записана як

f(x,y)={x \over 1+y}

.

Нехай X = A² − (0, 0). Тоді X є алгебричним многовидом оскільки X є відкритою підмножиною многовида. Якщо f є регулярною функцією на X, тоді f є регулярною на $D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}$ і належить $k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]$ . Також вона належить $k[x,y,y^{-1}]$ . Тому:
$f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}$

де g, h є многочленами з k[x, y]. Як наслідок g ділиться на xⁿ і f є многочленом. Тому кільце регулярних функцій на X рівне k[x, y]. (Тому, зокрема, X не є афінним многовидок; в іншому випадку, мало б бути X = A².)

Припустимо $\mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}$ ідентифікуючи точки (x : 1) з точками x на A¹ і ∞ = (1 : 0). Існує автоморфізм σ многовида P¹ заданий як σ(x : y) = (y : x); зокрема, σ переставляє 0 і ∞. якщо f є раціональною функцією на P¹, Тоді

\sigma ^{\#}(f)=f(1/z)

і f є регулярною у ∞ якщо і тільки якщо f(1/z) є регулярною в нулі.

Для довільних алгебричних многовидів X, Y, проєкція
$p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x$

є морфізмом многовидів. Якщо X і Y є афінними, то відповідний гомоморфізм кілець:

p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1

де

(f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)

.

Властивості

Морфізм між многовидами є неперервним відображенням щодо топології Зариського.

Образ морфізма многовидів може не бути відкритою чи замкнутою множиною (наприклад, образ відображення $\mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)$ ). Якщо f є морфізмом між многовидами, то образ f містить відкриту щільну підмножину його замикання.

Морфізм ƒ:X→Y алгебричних многовидів називається домінантним якщо його образ є щільною множиною. Для такого f, якщо V є непустою відкритою афінною підмножиною многовида Y, то існує непуста відкрита афінна підмножина U многовида X, для якої ƒ(U) ⊂ V, і тоді $f^{\#}:k[V]\to k[U]$ є ін'єкцією. Тобто домінантне відображення індукує ін'єкції на рівні полів функцій:

k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f

де границя береться по всіх непустих афінних відкритих підмножинах Y. Навпаки, кожне включення полів $k(Y)\hookrightarrow k(X)$ індукується домінантним раціональним відображенням з X в Y.^[1] Відповідно дана конструкція визначає контраваріантну еквівалентність між категорією алгебричних многовидів над полем k і домінантних раціональних відображень між ними і категорією скінченнопороджених розширень поля k.^[2]

Якщо X є гладкою повною кривою (Наприклад, P¹) і якщо f є раціональним відображенням з X у проєктивний простір P^m, то f є a регулярним відображенням X → P^m.^[3] Зокрема, коли X є гладкою повною кривою, будь-яка раціональна функція на X може розглядатися як морфізм X → P¹ і, навпаки, такий морфізм як раціональна функція на X.

Для нормального многовида (зокрема гладкого многовида) раціональна функція є регулярною, якщо і тільки якщо вона не має полюсів корозмірності 1.

Морфізм між алгебричними многовидами, що є гомеоморфізмом топологічних просторів, не обов'язково буде ізоморфізмом (контрприкладом є морфізм Фробеніуса $t\mapsto t^{p}$ .) Навпаки, якщо f бієктивним біраціональним відображенням у нормальний многовид, то f є бірегулярним. (Головна теорема Зариського.)

Регулярне відображення між комплексними алгебричними многовидами є голоморфним. Зокрема регулярне відображення на комплексну пряму є голоморфною функцією.

Морфізми в проєктивний простір

Нехай

f:X\to \mathbf {P} ^{m}

є морфізмом з проєктивного многовида в проєктивний простір і x — точка в X. Тоді деяка i-та однорідна координата точки f(x) є ненульовою; наприклад, i = 0 для простоти. Тоді, з неперервності, існує відкритий афінний окіл U точки x такий що

f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}

є морфізмом, де y_i позначає однорідні координати. Область значень у цьому випадку є афінним простором A^m, якщо ідентифікувати $(a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})$ . Тому, згідно з означенням, обмеження f |_U задається як

f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))

де g_i є регулярними функціями на U. Оскільки X є проєктивним многовидом, кожна g_i є часткою однорідних елементів однакового степеня однорідного координатного кільця k[X] многовида X. Ці частки можна упорядкувати так, що вони матимуть спільний однорідний знаменник f₀. Тоді можна записати g_i = f_i/f₀ для деяких однорідних елементів f_i у k[X]. Повертаючись до однорідних координат,

f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))

для всіх x у U і згідно з неперервністю для всіх x з X, для яких не всі одночасно f_i приймають нульове значення. Якщо всі одночасно f_i приймають нульове значення в точці x многовида X, то, згідно з описаною вище процедурою, можна обрати f_i, які не приймають одночасно нульове значення в цій точці.

Описане вище насправді є справедливим для довільного квазіпроєктивного многовида X, що є відкритим підмноговидом проєктивного многовида ${\overline {X}}$ , з тією різницею, що f_i належать однорідному координатному кільцю многовида ${\overline {X}}$ .

Зауваження: Написане вище не означає що морфізм з проєктивного многовида в проєктивний простір задається єдиною множиною многочленів (як у афінному випадку). Наприклад, нехай X — коніка $y^{2}=xz$ в P². Тоді два відображення $(x:y:z)\mapsto (x:y)$ і $(x:y:z)\mapsto (y:z)$ узгоджуються на відкритій підмножині $\{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}$ коніки X (оскільки $(x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)$ ) і визначають морфізм $f:X\to \mathbf {P} ^{1}$ .

Прообрази морфізма

Важливим результатом є теорема:^[4] Нехай f: X → Y — домінуючий морфізм алгебричних многовидів, і r = dim X − dim Y. Тоді

Для кожної незвідної замкнутої підмножини W многовида Y і кожної незвідної компоненти Z прообразу $f^{-1}(W)$ , що домінує W,
$\dim Z\geq \dim W+r.$
Існує непуста відкрита підмножина U в Y, для якої (a) $U\subset f(X)$ і (b) для кожної незвідної замкнутої підмножини W многовида Y з непустим перетином з U і кожної незвідної компоненти Z прообразу $f^{-1}(W)$ з непустим перетином з $f^{-1}(U)$ ,
$\dim Z=\dim W+r.$