Напівнеперервна функція

Напівнеперервність в математичному аналізі — це властивість функції більш слабка, ніж неперервність. Функція є напівнеперервною зверху в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або меншими від значення значення функції в ній. Функція є напівнеперервною знизу в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або більшими значення функції в ній.

напівнеперервна зверху функція.

напівнеперервна знизу функція.

Визначення

Нехай $X$ — топологічний простір, $x_{0}\in X$ і $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$ функція зі значеннями у множині розширених дійсних чисел.

Функція $f$ називається неперервною зверху (знизу) в точці $x_{0}$ якщо для довільного $\varepsilon >0$ існує окіл $U$ точки $x_{0}$ такий, що $f(x)\leqslant f(x_{0})+\varepsilon ,\;\forall x\in U\quad \left(f(x)\geqslant f(x_{0})-\varepsilon ,\;\forall x\in U\right),$ якщо$f(x_{0})>-\infty \quad (f(x_{0})<\infty )$, і $f(x)$ прямує до $-\infty \quad (\infty )$ коли $x$ прямує до $x_{0}$ якщо $f(x_{0})=-\infty \quad (\infty )$.

У випадку метричного простору $(X,\varrho )$ ці умови можна записати так

$\varlimsup _{x\to x_{0}}f(x)\leqslant f(x_{0})\;\left(\varliminf _{x\to x_{0}}f(x)\geqslant f(x_{0})\right),$

де $\varlimsup$ позначає точну верхню границю.

Функція $f$ називається напівнеперервною зверху (знизу) на $M\subset X$, якщо вона є напівнеперервною зверху (знизу) для всіх $x_{0}\in M$.

Альтернативно функція є напівнеперервною зверху (знизу) на $X$ якщо $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ множина $\{x\in X:~f(x)<\alpha \}\quad (\{x\in X:~f(x)>\alpha \})$ є відкритою. Ввівши в множині дійсних чисел топологію $O_{<}:={\Big \{}\left[-\infty ,a\right);a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}{\Big \}}$ для топологічного простору $(X,O)$ маємо, що функція $f\colon X\to \mathbb {R}$ є напівнеперервною зверху, тоді і тільки тоді коли вона є неперервною в новій топології дійсних чисел: $(X,O)\to (\mathbb {R} ,O_{<})$. Для подібного визначення неперервності знизу для дійсних чисел слід ввести топологію $O_{>}:={\Big \{}\left(a,\infty \right];a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}{\Big \}}.$ Дані означення можна узагальнити на довільну лінійно впорядковану множину з подібним визначенням топології.

Приклади

• Ціла частина числа $x\mapsto [x]$ є напівнеперервною зверху функцією;
• Дробова частина числа $x\mapsto \{x\}$ напівнеперервна знизу.
• Функція Діріхле $f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$ є напівнеперервною зверху в усіх раціональних точках і напівнеперервною знизу в ірраціональних.
• Функція :$f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}$

є напівнеперервною взверху в точці x = 0.

• Індикатор $\mathbf {1} _{U}$ довільної відкритої множини $U\subset X$ є напівнеперервною знизу функцією.
• Індикатор $\mathbf {1} _{V}$ довільної замкнутої множини $V\subset X$ є напівнеперервною зверху функцією.
• Нехай $y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})$ — система звичайних диференціальних рівнянь (y — вектор порядку n). Нехай функція F визначена на множині $E\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ і для кожної точки $(x_{0},y_{0})\in E$ існує єдиний максимальний розв'язок системи рівнянь $y(x)$, визначений на проміжку $w_{-}<x<w_{+}.$ Числа $w_{-},w_{+}$ загалом залежать від початкових умов і можна визначити функції $w_{-}(x_{0},y_{0}),w_{+}(x_{0},y_{0})\;(x_{0},y_{0})\in E.$ Тоді функція $w_{-}(x_{0},y_{0})$ є напівнеперервною зверху на множині E, а функція $w_{+}(x_{0},y_{0})$ є напівнеперервною знизу на множині E.

Властивості

• Функція є неперервною тоді й лише тоді коли вона є одночасно напівнеперервною зверху і знизу.
• Якщо $f\colon X\to \mathbb {R}$ є напівнеперервною зверху, то функція -f є напівнеперервною знизу і навпаки.
• Нехай $f,g:X\to \mathbb {R}$ є дві напівнеперервні знизу (зверху) функції. Тоді їх сума $f+g$ також напівнеперервна знизу (зверху). Якщо напівнеперервні зверху функції є невідємними в точці то їх добуток теж буде напівнеперервним зверху.
• Якщо $f,g$ — напівнеперервні зверху функції дійсної змінної і g також неспадна, то функція $f\circ g$ є також напівнеперервною зверху.
• Межа монотонно зростаючої (спадної) послідовності напівнеперервних знизу (зверху) в точці $x_{0}$ функцій є напівнеперервною знизу (зверху) функцією в $x_{0}$. Більш точно, нехай дано послідовність напівнеперервних знизу (зверху) функцій $f_{n}:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ таких, що $f_{n+1}(x)\geqslant (\leqslant )f_{n}(x)\;\forall n\in \mathbb {N} \;\forall x\in X.$ Тоді якщо існує межа $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)\;\forall x\in X,$ то $f$ напівнеперервна знизу (зверху).
• Якщо $u:X\to \mathbb {R}$ і $v:X\to \mathbb {R}$ є напівнеперервні функції відповідно знизу і зверху , і на всьому просторі виконано

$-\infty <v(x)\leqslant u(x)<\infty ,\;x\in X,$

то існує неперервна функція $f:X\to \mathbb {R}$, така що

$v(x)\leqslant f(x)\leqslant u(x),\;x\in X.$

• Нехай дано компактну множину $K\subset X.$ Тоді напівнеперервна знизу (зверху) функція $f:K\to \mathbb {R}$ досягає на $K$ свого мінімуму (максимуму).
• Теорема Віталі — Каратеодорі. Якщо $\mu$ — невід'ємні міра на $\mathbb {R} ^{n}$, то для будь-якої $\mu$-вимірної функції $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ існують дві послідовності функцій $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ і $\{v_{k}\}_{k=1}^{\infty }$, що задовольняють умовам:

1. $u_{k}$ — напівнеперервні знизу, $v_{k}$ — напівнеперервні зверху,
2. кожна функція $u_{k}$ є обмеженою знизу, кожна функція $v_{k}$ — зверху,
3. послідовність $u_{k}$ незростаюча, послідовність $v_{k}$ неспадна,
4. $v(x)\leqslant f(x)\leqslant u(x),\;x\in \mathbb {R} ^{n},$
5. $\lim \limits _{n\to \infty }u_{n}(x)=\lim \limits _{n\to \infty }v_{n}(x)=f(x),\;\;$ $\mu$-майже всюди.
6. якщо для $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ функція $f$ є інтегровною за Лебегом на $E$ ($f\in L(E)$), то також $u_{k},v_{k}\in L(E)$ і

$\lim \limits _{n\to \infty }\int _{E}u_{n}d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int _{E}v_{n}(x)d\mu =\int _{E}f(x)d\mu .$

Література

• Перестюк М. О., Станжицький О. М., Капустян О. В., Ловейкін Ю. В. Варіаційне числення та методи оптимізації: Навч. посібник. — К., 2010. — 121 c.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)