Визначення
ред.
Визначення для послідовностей
ред.
Нижню границю послідовності можна визначити:
lim _ n → ∞ x n := lim n → ∞ ( inf m ≥ n x m ) {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}} або
lim _ n → ∞ x n := sup n ≥ 0 inf m ≥ n x m = sup { inf { x m : m ≥ n } : n ≥ 0 } . {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.} Подібним чином верхня границя послідовності (x n ) визначається
lim sup n → ∞ x n := lim n → ∞ ( sup m ≥ n x m ) {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}} або
lim sup n → ∞ x n := inf n ≥ 0 sup m ≥ n x m = inf { sup { x m : m ≥ n } : n ≥ 0 } . {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.} Визначення для функцій
ред.
Нехай дано дійсну функцію f : I → R , {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} ,} де I ⊂ R , {\displaystyle I\subset \mathbb {R} ,} і ξ — граничну точку I , тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:
lim ¯ x → ξ f ( x ) = inf a > 0 sup f ( ( ξ − a , ξ + a ) ∩ I ) , {\displaystyle \varlimsup _{x\to \xi }f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi -a,\xi +a)\cap I),}
lim _ x → ξ f ( x ) = sup a > 0 inf f ( ( ξ − a , ξ + a ) ∩ I ) . {\displaystyle \varliminf _{x\to \xi }f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi -a,\xi +a)\cap I).} Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:
lim ¯ x → ξ + f ( x ) = inf a > 0 sup f ( ( ξ , ξ + a ) ∩ I ) , {\displaystyle \varlimsup _{x\to \xi +}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi ,\xi +a)\cap I),}
lim _ x → ξ + f ( x ) = sup a > 0 inf f ( ( ξ , ξ + a ) ∩ I ) , {\displaystyle \varliminf _{x\to \xi +}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi ,\xi +a)\cap I),}
lim ¯ x → ξ − f ( x ) = inf a > 0 sup f ( ( ξ − a , ξ ) ∩ I ) , {\displaystyle \varlimsup _{x\to \xi -}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi -a,\xi )\cap I),}
lim _ x → ξ − f ( x ) = sup a > 0 inf f ( ( ξ − a , ξ ) ∩ I ) . {\displaystyle \varliminf _{x\to \xi -}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi -a,\xi )\cap I).} Визначення для послідовності множин
ред.
Нехай Ω — деяка множина , (An ) — послідовність її підмножин . Тоді верхня і нижня границі цієї послідовності визначаються за формулами:
lim _ n → ∞ A n = ⋃ n = 1 ∞ ( ⋂ m = n ∞ A m ) {\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)} і
lim ¯ n → ∞ A n = ⋂ n = 1 ∞ ( ⋃ m = n ∞ A m ) . {\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right).} Приклади
ред.
lim _ n → ∞ 1 n = lim ¯ n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} lim _ n → ∞ ( − 1 ) n = − 1 {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=-1} lim ¯ n → ∞ ( − 1 ) n = + 1 {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=+1} Властивості
ред.
У будь-якої послідовності існують верхня і нижня границі, що належать множині R ∪ { − ∞ , + ∞ } . {\displaystyle \mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace .}
Числова послідовність { x n } {\displaystyle ~\{x_{n}\}} збігається до a {\displaystyle ~a} тоді і тільки тоді , коли lim _ n → ∞ x n = lim ¯ n → ∞ x n = a {\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a} .
Для будь-якого наперед узятого додатного числа ε {\displaystyle ~\varepsilon } всі елементи обмеженої числової послідовності { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} , починаючи з деякого номера, залежного від ε {\displaystyle ~\varepsilon } , лежать усередині інтервалу ( lim _ n → ∞ x n − ε , lim ¯ n → ∞ x n + ε ) {\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)} .
Якщо за межами інтервалу ( a , b ) {\displaystyle \left(a,b\right)} лежить лише скінченна кількість елементів обмеженої числової послідовності { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} , то інтервал ( lim _ n → ∞ x n , lim ¯ n → ∞ x n ) {\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)} міститься в інтервалі ( a , b ) {\displaystyle \left(a,b\right)} .
Виконуються нерівності:
inf n x n ≤ lim inf n → ∞ x n ≤ lim sup n → ∞ x n ≤ sup n x n {\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}}
lim ¯ n → ∞ ( a n + b n ) ≤ lim ¯ n → ∞ ( a n ) + lim ¯ n → ∞ ( b n ) . {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\leq \varlimsup _{n\to \infty }(a_{n})+\varlimsup _{n\to \infty }(b_{n}).} lim _ n → ∞ ( a n ) + lim _ n → ∞ ( b n ) ≤ lim _ n → ∞ ( a n + b n ) . {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }(a_{n})+\varliminf _{n\to \infty }(b_{n})\leq \varliminf _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n}).} Література
ред.