Локально зв'язаний простір

У топології топологічний простір $X$ називається локально зв'язаним у точці $x$, якщо для будь-якого околу $V$ точки $x$ існує менший відкритий зв'язаний окіл $U$, тобто $x\in U\subset V$. Простір називається локально зв'язаним, якщо він є локально зв'язаним у всіх своїх точках. Еквівалентно простір є локально зв'язаним, якщо для нього існує базис із відкритих зв'язаних підмножин.

Еквівалентні означення

Наступні твердження є еквівалентними:

• Топологічний простір $X$ є локально зв'язаним, згідно означення даного вище.
• Будь-яка компонента зв'язності довільного відкритого підпростору простору $X$ є відкритою підмножиною.
• Будь-яка відкрита підмножина, як топологічний простір, є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності із диз'юнктивною топологією.

Припустимо, що $X$ є локально зв'язаним, $U\subset X$ — відкрита підмножина і $U_{0}\subset U$ — її компонента зв'язності. Нехай $x\in U_{0}$. Тоді також $x\in U$ і тому існує відкритий зв'язаний окіл $U_{x,0}\subset U$ точки $X$. Цей окіл має бути підмножиною $U_{0}$, оскільки $U_{0}$ є компонентою зв'язності $U$.

Тому $U_{0}={\underset {x\in U_{0}}{\cup }}U_{x,0}$ є об'єднанням відкритих множин і теж є відкритою множиною. Тому з першого означення випливає друге.

Припустимо тепер, що кожна компонента зв'язності довільної відкритої підмножини $U$ теж є відкритою множиною. Зокрема ми отримуємо відрите покриття простору $U$ компонентами зв'язності. Формуючи перетини із цим покриттям довільної відкритої підмножини в $U$ отримуємо, що довільна така підмножина є диз'юнктивним об'єднанням відкритих підмножин компонент зв'язності. Таким чином із другого означення випливає перше.

Припустимо, що будь-яка відкрита підмножина є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності. Нехай $x$ — точка і $U_{x}\supset \{x\}$ — її окіл. За означенням $U_{x}$ містить відкритий окіл точки $x$ і згідно припущення цей окіл є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності, що є відкритими підмножинами. Одна з цих підмножин містить $x$ і задовольняє вимоги з означення локальної зв'язності.

Властивості

• Будь-яка відкрита підмножина локально зв'язаного простору є локально зв'язаним простором.
• Будь-яка компонента зв'язності локально зв'язаного простору є відкрито-замкнутою.
• Будь-який компактний локально зв'язаний простір має скінченну кількість компонент зв'язності.
• Якщо простір $X$ є локально зв'язаним, а відображення $f:X\to Y$ — неперервне, відкрите і сюр'єктивне. Тоді $Y$ теж є локально зв'язаним.

Нехай $f(x)\in Y$ — довільна точка і $U$ — будь-який окіл точки $f(x)$. Із неперервності відображення випливає, що $f^{-1}(U)$ є околом точки $x$. Згідно локальної зв'язаності простору $X$ існує відкритий зв'язаний окіл $V$ точки $x$, що є підмножиною $f^{-1}(U)$. Зважаючи на неперервність і відкритість відображення $f$, множина $f(V)$ теж є відкритою і зв'язаною і також очевидно $f(x)\in f(V)\subset U$. Тобто вимоги локальної зв'язаності $Y$ виконуються.

• Нехай $\{X_{i}\}_{i\in I}$ — деяка сім'я топологічних просторів і їх добуток $X=\prod _{i\in I}X_{i}$ є локально зв'язаним. Тоді усі простори $X_{i}$ теж є локально зв'язаними, оскільки кожна проєкція на множник є неперервним відкритим сюр'єктивним відображенням.
• Довільний скінченний добуток локально зв'язаних просторів є локально зв'язаним простором. Для нескінченного добутку це твердження не є правильним. Прикладом може бути простір $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$.
• Натомість якщо $\{X_{i}\}_{i\in I}$ є сім'єю локально зв'язаних і також зв'язаних топологічних просторів, то їх добуток $X=\prod _{i\in I}X_{i}$ є локально зв'язаним.
• Фактор-простір локально зв'язаного топологічного простору теж є локально зв'язаним.

Нехай $q:X\to Y$ — відображення на фактор-простір і $V\subseteq Y$ — відкритий окіл точки $y\in Y$. Позначимо $C(y)$ компоненту зв'язності $V$, що містить точку $y$; достатньо довести, що $C(y)$ є відкритою підмножиною $Y$. Для цього достатньо довести, що $C=q^{-1}(C(y))$ є відкритою підмножиною $X$. Нехай $x\in C$. Оскільки $X$ є локально зв'язаним, компонента зв'язності $U_{x}$ точки $x$ у $q^{-1}(V)$ є відкритою і підмножина $q(U_{x})\subseteq V$ є зв'язаною; тому $q(U_{x})\subseteq C(y)$ (оскільки $C(y)$ є компонентою зв'язності що містить $q(x)$). Тому $U_{x}\subseteq q^{-1}(C(y))=C$, і точка $x$ є внутрішньою у $C$. Зважаючи на довільність вибору точки $x$ множина $C$ є відкритою, що завершує доведення.

• Простір $X$ є локально зв'язаним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого сімейства $\{X_{i}\}_{i\in I}$ підмножин $X$ має місце включення $\partial \left(\bigcup _{i\in I}X_{i}\right)\subset {\overline {\bigcup _{i\in I}\partial (X_{i})}}$, де $\partial$ — межа множини, a ${\overline {A}}$ позначає замикання множини $A$.

Приклади

Синус тополога.

• Для додатного цілого числа $n$, евклідів простір $\mathbb {R} ^{n}$ є локально зв'язаним і зв'язаним.
• Підпростір $[0,1]\cup [2,3]$ дійсної прямої $\mathbb {R} ^{1}$ є локально зв'язаним але не зв'язаним.
• Стандартним прикладом простору, що є зв'язаним але не локально зв'язаним є синус тополога. Цей простір є підмножиною точок на площині $T=\left\{\left.\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)\right|x\in ]0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}$ із індукованою топологією.
• Простір $\mathbb {Q}$ не є локально зв'язаним і не є зв'язаним.
• Будь-який локально лінійно зв'язаний простір є локально зв'язаним.
• Зліченна множина із кофінітною топологією (в якій замкнутими множинами є скінченні множини і весь простір) є локально зв'язаною але не локально лінійно зв'язаною.
• Будь-який повний метричний локально зв'язаний простір є локально лінійно зв'язаним (теорема Мазуркевича — Мура — Менгера)

Слабка локальна зв'язаність

Нескінченна мітла. У замкнутій нескінченній мітлі додається теж весь відрізок від початку координат до точки (1,0)

Простір X називається слабко локально зв'язаним у точці x якщо для кожного околу V точки x існує зв'язаний але не обов'язково відкритий окіл N точки x, що є підмножиною V .

Простір X називають слабко локально зв'язаним якщо він є слабко локально зв'язаним у всіх точках x. Насправді проте поняття слабкої локальної зв'язаності для всього простору є еквівалентним поняттю локальної зв'язаності.

Теорема

Якщо X є слабко локально зв'язаним простором, то він є локально зв'язаним.

Доведення

Нехай U є відкритою підмножиною X, C — компонента зв'язності U і x — елемент C. Тоді існує зв'язаний окіл A точки x у X, що є підмножиною U. Оскільки A є зв'язаною підмножиною і містить x, A є підмножиною C. Згідно з означенням околу існує відкрита множина V , що містить x і є підмножиною A і тому підмножиною C. Тому точка x є внутрішньою у C. Оскільки точка x була довільною то C є відкритою множиною. Тобто довільна компонента зв'язності довільної відкритої підмножини є відкритою і тому X є локально зв'язаним.

Натомість простір може бути слабко локально зв'язаним у точці але не локально зв'язаним у ній. Прикладом може бути простір утворений із нескінченної послідовності просторів, що називаються замкнутою нескінченною мітлою. Замкнутою нескінченною мітлою називається об'єднання відрізків на площині, що сполучають точку (0,0) із точками з координатами (1, 1/n) для всіх натуральних чисел n, а також з точкою (1,0).

Нескінченна послідовність отримується якщо замість точки (0,0) брати послідовно точки виду ((n-1)/n,0) для всіх натуральних чисел і пропорційно зменшити замкнуту нескінченну мітлу так, щоб горизонтальний відрізок мав довжину ${\frac {n}{n+1}}-{\frac {n-1}{n}}$.

Вставивши послідовно ці простори у відповідні точки отримаємо зв'язаний топологічний простір , що є об'єднанням нескінченної кількості пропорційно зменшених копій замкнутої нескінченної мітли. У точці (1,0) цей прості є слабко локально зв'язаним але не є локально зв'язаним.

Див. також

• Зв'язаний простір
• Локально лінійно зв'язаний простір

Посилання

• Локально зв'язаний простір [Архівовано 5 січня 2018 у Wayback Machine.] у проекті nLab.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
• Isadore Singer, John A. Thorpe (1967), Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag ISBN 0-387-90202-3 (англ.)
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863(англ.)