Відкрите відображення

Відкрите відображення — відображення одного топологічного простору на інший, при якому образ будь-якої відкритої множини є відкритою множиною. У загальній топології відкрите відображення застосовуються при класифікації просторів.

Означення

Відображення $f$ з топологічного простору $X$ у топологічний простір $Y$ називається відкритим, якщо образ $f(U)$ будь-якої відкритої підмножини $U$ з $X$ є відкритою підмножиною у просторі $Y$.

Пов'язаним є поняття відносно відкритого відображення, яке іноді теж називають просто відкритими відображеннями. Відображення $f$ з топологічного простору $X$ у топологічний простір $Y$ називається відносно відкритим, якщо образ $f(U)$ будь-якої відкритої підмножини $U$ з $X$ є відкритою підмножиною у образі всього простору $f(X)$.

Очевидно, що відкрите відображення є відносно відкритою але не навпаки. Відображення є відкритим тоді і тільки тоді коли воно є відносно відкритим і $f(X)$ є відкритою підмножиною у просторі $Y$.

Властивості

• Неперервне відображення є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді коли воно є відкритим.
• Композиція відкритих відображень є відкритим відображенням.
• Відображення $f\colon \,X\to Y$ є відкритим тоді і тільки тоді, коли для кожної точки $x\in X$ і кожного околу $U$ точки $x$ в $X$ образ відображення $f(U)$ є околом точки $f(x)$ у просторі $Y$.
• Відображення є відкритим тоді і тільки тоді коли $f(A^{\circ })\subseteq f(A)^{\circ }.$
• Категорна сума і добуток відкритих відображень є відкритими відображеннями.
• Образом простору, що задовольняє другу аксіому зліченності при відкритому неперервному сюр'єктивному відображенні є простір, що теж задовольняє другу аксіому зліченності.
• Образами метричних просторів при неперервних відкритих відображеннях є простори з першою аксіомою зліченності і тільки вони.
• Метризовний простір, що є образом повного метричного простору при неперервному відкритому відображенні, є метризовним повною метрикою.
• Якщо паракомпактний простір є образом повного метричного простору при неперервному відкритому відображенні, то він є метризовним.
• При неперервному відкритому відображенні компактного простору, якщо прообраз довільної точки образу є зліченним, розмірність образу відображення не перевищує розмірності простору. Натомість кожен компакт є образом деякого одновимірного компакта при неперервному відкритому відображенні з нульвимірними прообразами точок. Тривимірний куб можна неперервно і відкрито відобразити на куб будь-якої більшої розмірності.

Приклади

• Якщо топологічний простір $Y$ є дискретним, то будь-яке відображення топологічних просторів $f:X\to Y$ є відкритим.
• Проєкція добутку топологічних просторів на множники є відкритими відображеннями.
• Функція $f(x)=x^{2}$ на дійсній прямій зі стандартною топологією є неперервною й замкнутою, але не є відкритою. Натомість вона є відносно відкритою.
• Прикладом неперервного відображення, що не є відносно відкритим є відображення, що для деякого ірраціонального числа $\alpha$ задається як $f(x)=(e^{2\pi ix},e^{\alpha 2\pi ix}).$ Його можна розглядати як відображення $f\colon \mathbb {R} \to S^{1}\times S^{1}$. Образ відображення при цьому не є відкритою підмножиною у $S^{1}\times S^{1}$.
• Поставимо у відповідність кожній точці одиничного кола її кутовий коефіцієнт. Задане таким чином відображення $S^{1}\to (0,2\pi ]$ є замкнутим, відкритим бієктивним відображенням, яке не є неперервним. Іншим прикладом замкнутого й відкритого відображення, що не є неперервним, є ціла частина числа, як відображення з множини дійсних чисел зі стандартною топологією на множину цілих чисел із дискретною топологією.
• У функціональному аналізі неперервний сюр'єктивний лінійний оператор між просторами Банаха є неперервним відображенням.
• У комплексному аналізі, згідно принципу збереження області голоморфна функція на зв'язаній відкритій підмножині комплексної площини (чи, більш загально, скінченновимірного комплексного векторного простору) є відкритим відображенням.
• В диференціальній геометрії згідно теореми про обернене відображення, що неперервно диференційовна функція між евклідовими просторами, матриця Якобі якої є невиродженою в даній точці, є відкритим відображенням в деякому околі цієї точки. Узагальнено: якщо відображення $f:U\to V$ між диференційовними многовидами є субмерсією, тобто диференціал $\operatorname {d} f(x)$ є сюр'єктивним у кожній точці $x\in U$, то $f$ є відкритим відображенням.
• Неперервне й локально ін'єктивне відображення між двома n-вимірними топологічними многовидами є відкритим.
• Проєкції у локально тривіальних розшаруваннях і накриття завжди є відкритими відображеннями.
• Відповідно до теореми про інваріантність відкритих множин у евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ для кожної відкритої підмножини $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ та кожного ін'єктивного неперервного відображення $f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ образ відображення $f(U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ є відкритою підмножиною $\mathbb {R} ^{n}$, а $f$ є гомеоморфізмом між $U$ і $f(U),$ зокрема відкритим відображенням.
• Якщо G є топологічною групою і H її підгрупою то відображення на факторпростір $f:G\to G/H$ є відкритим.

Див. також

• Замкнуте відображення
• Неперервне відображення

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
• James, I. M. (1984). General Topology and Homotopy Theory. Springer-Verlag. ISBN 9781461382836. (англ.)
• Munkres, James R. (2000). Topology (вид. 2nd). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. (англ.)
• Naber, Gregory L. (2012). Topological Methods in Euclidean Spaces. Cambridge University Press. ISBN 9780521296328. (англ.)