Границя функції в точці

Границя функції в точці, граничній для області визначення функції, називається таке число, до якого значення даної функції прямує при спрямуванні її аргументу до цієї точки. Одне з основоположних понять математичного аналізу.

$x$	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Хоча функція ${\frac {\sin x}{x}}$ в нулі не визначена, проте коли $x$ наближається до нуля, її значення стає як завгодно близьким до 1. Іншими словами, границя цієї функції в нулі дорівнює 1.

Історія

Незважаючи на те, що математичний аналіз розвивався у 17-му та 18-му століттях, сучасна ідея границі функції походить від Бернард Больцано, який у 1817 році ввів основи техніки епсилон-дельта для визначення неперервних функцій. Проте його роботи за життя не були відомими.

У своїй книзі Cours d'analyse 1821 року Оґюстен-Луї Коші обмірковував змінні величини, нескінченно малі та границі, визначив неперервність $y=f(x)$, сказавши, що нескінченно мала зміна x обов’язково призводить до нескінченно малої зміни у, при цьому використовував строге визначення епсилон-дельта в доведеннях. У 1861 році Вейєрштрас вперше ввів визначення границі в позначеннях епсилон-дельта у тому вигляді, який зазвичай записують сьогодні. Він також ввів позначення $\lim$ та ${\text{lim}}_{x\to x_{0}}$.

Сучасне позначення з розміщенням стрілки знизу $\lim \limits _{x\to x_{0}}$ ввів Ґодфрі Гарольд Гарді у своїй книзі «Курс чистої математики» в 1908 році.

Означення

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай $A\subset \mathbb {R}$, причому $A\neq \emptyset$, і $x_{0}$ — гранична точка множини $A$. У подальшому будемо розглядати функції $f:\,A\to \mathbb {R}$. Через $B(x_{0},\delta )$ позначимо $\delta$-окіл точки $x_{0}$:

$B(x_{0},\delta ):=(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$.

Означення за Коші

Число $a$ називається границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для довільного дійсного числа $\varepsilon >0$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}$ виконується нерівність $|f(x)-a|<\varepsilon$.

Позначення:

$a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$

або

$f(x)\to a$ при $x\to x_{0}$.

Під $\varepsilon$ і $\delta$ можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. Фактично, Коші використовував $\varepsilon$ як позначення для «похибки» у деяких своїх роботах, а у своєму визначенні неперервності він використовував нескінченно малу $\alpha$, а не $\varepsilon$ чи $\delta$. У цих позначеннях похибка $\varepsilon$ обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані $\delta$ до граничної точки.

Означення за Гейне

Число $p$ називається границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, $x_{n}\neq x_{0}$ при $n\in \mathbb {N}$, що збігається до числа $x_{0}$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Односторонні границі

Односторонні границі не рівні. Отже, границі при x → x₀ не існує.

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя).

Означення правосторонньої границі

Нехай $A\subset \mathbb {R}$ і $x_{0}$ — гранична точка множини $A$ такі, що $\exists \gamma >0:\,(x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A$. Число $p$ називається правосторонньою границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для довільного дійсного числа $\varepsilon >0$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $(x_{0},x_{0}+\delta )$ виконується нерівність $|f(x)-p|<\varepsilon$.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

$\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\searrow x_{0}}f(x);$

Означення лівосторонньої границі

Нехай $A\subset \mathbb {R}$ і $x_{0}$ — гранична точка множини $A$ такі, що $\exists \gamma >0:\,(x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A$. Число $p$ називається лівосторонньою границею функції $f$ в точці $x_{0}$, якщо для довільного дійсного числа $\varepsilon >0$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $(x_{0}-\delta ,x_{0})$ виконується нерівність $|f(x)-p|<\varepsilon$.

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

$\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow x_{0}}f(x).$

Використовуються також наступні скорочення:

• $f\left(x_{0}+\right)$ і $f\left(x_{0}+0\right)$ для правої границі;
• $f\left(x_{0}-\right)$ і $f\left(x_{0}-0\right)$ для лівої границі.

Якщо обидві односторонні границі існують в точці $x_{0}$ та рівні в ній, то можна показати, що $\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)$. Якщо односторонні границі існують в точці $x_{0}$, але не рівні, то границі в точці $x_{0}$ не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклади

Відсутність односторонніх границь

Функція без границі в точці суттєвого розриву

Функція

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}},&x<1\\0,&x=1\\{\frac {0.1}{x-1}},&x>1\end{cases}}$

не має границі в точці $x_{0}=1$ (лівостороння границя не існує через коливальний характер функції синуса, а правостороння границя не існує через асимптотичну поведінку оберненої функції), але має границю і кожній іншій точці.

Функція Діріхле

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

не має границі в жодній точці дійсної прямої.

Нерівність односторонніх границь

Функція

$f(x)={\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\geqslant 0\end{cases}}$

має границю для кожної ненульової точки x (дорівнює 1 для від’ємного x і дорівнює 2 для додатного x). Однак, границі при x = 0 не існує (лівостороння границя дорівнює 1, а правостороння — 2).

Існування границі лише в одній точці

Обидві функції

$f(x)={\begin{cases}x,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

та

$f(x)={\begin{cases}|x|,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

мають границю в точці x = 0 і вона дорівнює 0. В інших точка границі не існує.

Існування границі в зліченній кількості точок

Функція

$f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1,&x\in \mathbb {Q} \end{cases}}$

має границю в будь-якій точці $x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n$, де $n\in \mathbb {Z}$.

Границі, пов’язані з нескінченністю

Границя в нескінченності

Границя цієї функції при $x\to +\infty$ існує.

Границя функції в нескінченності визначає поведінку значень функції, коли модуль її аргумента стає нескінченно великим. Існують різні означення таких границь, але вони рівгосильні між собою.

Границя в нескінченності за Коші

• Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $A$ — необмежена зверху множина, $f:\,A\to \mathbb {R}$. Число $a$ називається границею функції $f$ при $x\to +\infty$, якщо для довільного дійсного числа $\varepsilon >0$ існує дійсне $\delta$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap (\delta ,+\infty )$ виконується нерівність $|f(x)-a|<\varepsilon$.

Позначення: $a=\lim _{x\to +\infty }f(x)$ або $f(x)\to a$ при $x\to +\infty$.

• Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $A$ — необмежена знизу множина, $f:\,A\to \mathbb {R}$. Число $a$ називається границею функції $f$ при $x\to -\infty$, якщо для довільного дійсного числа $\varepsilon >0$ існує дійсне $\delta$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap (-\infty ,\delta )$ виконується нерівність $|f(x)-a|<\varepsilon$.

Позначення: $a=\lim _{x\to -\infty }f(x)$ або $f(x)\to a$ при $x\to -\infty$.

Границя в нескінченності за Гейне

• Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $A$ — необмежена зверху множина, $f:\,A\to \mathbb {R}$. Число $p$ називається границею функції $f$ при $x\to +\infty$, якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, яка прямує до $+\infty$ при $n\to +\infty$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

• Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $A$ — необмежена знизу множина, $f:\,A\to \mathbb {R}$. Число $p$ називається границею функції $f$ при $x\to -\infty$, якщо для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, яка прямує до $-\infty$ при $n\to +\infty$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею одне і теж саме число $p$.

Нескінченні границі

Для функції, значення якої зростають або спадають безмежно, тобто функція розходиться, звичайна границя не існує. У цьому випадку можна ввести границі з нескінченними значеннями.

Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $x_{0}$ — гранична точка множини $A$ і $f:\,A\to \mathbb {R}$.

Кажуть, що $f$ прямує до плюс нескінченності в точці $x_{0}$, якщо для довільного дійсного числа $C$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}$ виконується нерівність $f(x)>C$.

Позначення: $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty$ або $f(x)\to +\infty$ при $x\to x_{0}$.

Кажуть, що $f$ прямує до мінус нескінченності в точці $x_{0}$, якщо для довільного дійсного числа $C$ існує дійсне $\delta >0$ таке, що для будь-якого дійсного $x$ з $A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}$ виконується нерівність $f(x)<C$.

Позначення: $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty$ або $f(x)\to -\infty$ при $x\to x_{0}$.

Можна поєднувати ідеї декількох означень границь в точці за Коші природним чином, щоб отримати визначення для різних комбінацій, наприклад

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty ,\lim _{x\to a+}f(x)=-\infty .$

Так само можна поєднувати означення за Гейне.

Приклад:

$\lim _{x\to 0+}\ln x=-\infty .$

Властивості

Нехай $A\subset \mathbb {R}$, $a$ — гранична точка $A$, задані функції $f,g:\,A\to \mathbb {R}$ та існують границі $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$, $\lim _{x\to x_{0}}g(x)$. Тоді при таких умовах границя функції в точці має наступні властивості:

• Якщо $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a_{1}$ і $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a_{2}$, то $a_{1}=a_{2}$.

• Якщо $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a$ і $b\in \mathbb {R} :\,a<b$, то

$\exists \delta >0\,\forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:\,f(x)<b$.

• Якщо $\forall x\in A\,f(x)\leqslant g(x)$, то $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\leqslant \lim _{x\to x_{0}}g(x)$.

• Теорема про арифметичні дії

1. $\forall C\in \mathbb {R} \,\,\lim _{x\to x_{0}}(Cf(x))=C\lim _{x\to x_{0}}f(x)$;
2. $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)$;
3. $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)$;
4. Якщо додатково $\lim _{x\to x_{0}}g(x)\neq 0$, то $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)}{\lim \limits _{x\to x_{0}}g(x)}}$
5. $\lim _{x\to x_{0}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=\left(\lim _{x\to x_{0}}f(x)\right)^{\lim \limits _{x\to x_{0}}g(x)}$ якщо права частина можлива.

Теорема про арифметичні дії також дійсна для односторонніх границь, у тому числі коли границя дорівнює $+\infty$ або $-\infty$. У кожній рівності вище, коли одна з границь праворуч дорівнює $+\infty$ або $-\infty$, границя ліворуч іноді все ще може визначатися наступними правилами:

• q + ∞ = ∞ якщо q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞ якщо q > 0
• q × ∞ = −∞ якщо q < 0
• q / ∞ = 0 якщо q ≠ ∞ і q ≠ −∞
• ∞^q = 0 якщо q < 0
• ∞^q = ∞ якщо q > 0
• q^∞ = 0 якщо 0 < q < 1
• q^∞ = ∞ якщо q > 1
• q^−∞ = ∞ якщо 0 < q < 1
• q^−∞ = 0 якщо q > 1

Границя композиції функцій

У загальному від того, що

$\lim _{y\to b}f(y)=c$ та $\lim _{x\to a}g(x)=b$,

не випливає, що $\lim _{x\to a}f(g(x))=c$, де $f:\,A\to \mathbb {R}$ і $g:\,B\to \mathbb {R}$, b — гранична точка множини A, a — гранична точка множини B. Це «правило ланцюга» діє, якщо виконується одна з наступних додаткових умов:

• $f(b)=c$, тобто f неперервна в b;
• $\exists \delta >0:\,\forall x\in B\cap B(a,\delta )\,|g(x)-b|>0$, тобто g не приймає значення b поблизу a.

Для прикладу розглянемо таку функцію, яка порушує обидві умови:

$f(x)=g(x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}.$

Оскільки точка 0 є розривом, який можна усунути, то

$\lim _{x\to a}f(x)=0$ для всіх $a\in \mathbb {R}$.

Таким чином, наївне «правило ланцюга» передбачає, що границя $f(f(x))$ дорівнює 0. Однак

$f(f(x))={\begin{cases}1,&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}$

і тому

$\lim _{x\to a}f(f(x))=1$ для всіх $a\in \mathbb {R}$.

Правило Лопіталя

Це правило використовує похідні, щоб розкрити невизначеності вигляду 0/0 або ±∞/∞, і застосовується лише до таких випадків. Нехай f(x) і g(x), визначені на відкритому інтервалі I, що містить граничну точку c, які задовольняють наступні умови:

1. $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ або $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty$,
2. $f$ і $g$ диференційовні на $I\setminus \{c\}$,
3. $g^{\prime }(x)\neq 0$ для всіх $x\in I\setminus \{c\}$,
4. $\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$ існує.

Тоді

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$.

Наприклад,

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$

Основні приклади границь функцій в точці

Раціональні функції

Для цілого невід’ємного числа $n$ та констант $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ і $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {a_{1}{x}^{n}+a_{2}{x}^{n-1}+a_{3}{x}^{n-2}+...+a_{n}}{b_{1}{x}^{n}+b_{2}{x}^{n-1}+b_{3}{x}^{n-2}+...+b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}$.

Це можна довести, поділивши як чисельник, так і знаменник на $x^{n}$. Якщо чисельник є поліномом більшого степеня ніж знаменник, то у цьому випадку раціональна функція прямує до $+\infty$. Якщо знаменник більшого степеня ніж чисельник, то границя дорівнює 0.

Тригонометричні функції

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$ — перша чудова границя
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

Експоненціальні функції

• $\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=\lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e$ — друга чудова границя
• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}\ln c$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1$

Логарифмічні функції

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b\ln c}}$

Узагальнення на метричні простори

Нехай $(X,\rho )$, $(Y,\sigma )$ — метричні простори, $A\subset X$, $x_{0}$ — гранична точка множини $A$. Елемент $a\in Y$ називається границею функції $f:\,A\to Y$ в точці $x_{0}$, якщо

$\forall \varepsilon >0\,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\,\forall x\in A,\,x\neq x_{0},\,\rho (x,x_{0})<\delta :\,\sigma (f(x),a)<\varepsilon$.

Також можна дати інше еквіваленте означення границі в точці для метричних просторів, аналогічне до означення за Гейне, розглянутого вище.

Елемент $p\in Y$ називається границею функції $f:\,A\to Y$ в точці $x_{0}$, для довільної послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A$, $x_{n}\neq x_{0}$ при $n\in \mathbb {N}$, що збігається до елемента $x_{0}\in X$, відповідна послідовність значень функції $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ збіжна і має границею один і той самий елемент $p$.

Найбільш важливими є наступні випадки:

1. $X=Y=\mathbb {R}$, $f:\,A\to \mathbb {R}$ — дійсна функція, визначена на множині $A$ дійсних чисел;
2. $X=\mathbb {R} ^{n},\,Y=\mathbb {R}$, $f:\,A\to \mathbb {R}$ — дійсна функція n-змінних;
3. $X=\mathbb {R} ^{n},\,Y=\mathbb {R} ^{m}$, $f:\,A\to \mathbb {R}$ — векторна функція n-змінних;
4. $(X,\rho )$ — метричний простір, $Y=\mathbb {R}$, $f:\,A\to \mathbb {R}$ — дійсна функція, яка задана на множині $A$ метричного простору.

Узагальнення на топологічні простори

Нехай $(X,\tau _{X})$ — топологічний простір, $(Y,\tau _{Y})$ — гаусдорфів топологічний простір, $A\subset X$, $x_{0}$ — гранична точка множини $A$. Елемент $a\in Y$ називається границею функції $f:\,A\to Y$ в точці $x_{0}$, якщо

$\forall V_{a}\in \tau _{Y},\,a\in V_{a}\,\exists U_{x_{0}}\in \tau _{X},x_{0}\in U_{x_{0}}:\,f((U_{x_{0}}\cap A)\setminus \{x_{0}\})\subset V_{a}$.

Означення, аналогічне до Гейне вже буде частковим випадком, визначиного вище, а не рівносильним йому.

Вимога, щоб простір Y був гаусдорфовим, може бути послаблена до припущення, що Y є просто топологічним простором, але тоді границя функції може не бути єдиною. Тому вже не можна буде говорити про границю функції в точці, а скоріше про множину границь у точці.

Див. також

• Границя послідовності
• Верхня і нижня границі
• Повторна границя
• Узагальнена послідовність
• Стискна теорема — обчислення границі шляхом обмеження функції між двома іншими функціями
• Нотація Ландау — нотації, що описують асимптотичну поведінку функцій
• Асимптотична рівність

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• М.О.Дзедзінський. Математичний Аналіз для студентів. — Листочок.
• Поняття границі функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 207. — 594 с.
• Sutherland, W. A. (1975), Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3