IEEE 754
Стандарт IEEE для чисел з рухомою комою (IEEE 754) — технічний стандарт формату представлення чисел з рухомою комою, створений у 1985 році Інститутом інженерів з електротехніки та електроніки (IEEE). Стандарт вирішував багато проблем, виявлених у різноманітних реалізаціях з рухомою комою, що ускладнювало їхнє надійне та портативне використання. Багато апаратних пристроїв із рухомою комою використовують стандарт IEEE 754. Використовується як у програмних реалізаціях арифметичних дій, так і в багатьох апаратних (CPU та FPU) реалізаціях. Багато компіляторів мов програмування використовують цей стандарт для зберігання чисел та виконання математичних операцій.
Стандарт визначає формати і методи для арифметики з рухомою комою в комп'ютерних системах — стандартні та розширені функції для чисел одинарної, подвійної, розширеної і розширюваної точності — і рекомендує формати для обміну даними[1]. Визначає виняткові ситуації та їхню стандартну обробку.
Цей стандарт визначає:
- Арифметичні формати: набори двійкових і десяткових даних з рухомою комою, які складаються з кінцевих чисел (у тому числі нулі зі знаком і денормалізовані числа), нескінченності та спеціальних значень «не число» (NaN).
- Формати обміну: кодування (бітові рядки), які можна використовувати для обміну даними з рухомою комою в ефективній та компактній формі.
- Правила округлення: властивості, які слід задовільняти при округленні чисел під час арифметики та перетворення.
- Операції: арифметичні та інші операції (наприклад, тригонометричні функції, додавання, віднімання, множення, ділення, поєднане множення-додавання, знаходження квадратного кореня, порівняння) над арифметичними форматами.
- Перетворення між цілими форматами і форматами з рухомою комою.
- Перетворення між різними форматами з рухомою комою.
- Перетворення між форматами з рухомою комою і зовнішніми поданнями — символьними послідовностями.
- Обробка винятків: ознаки виняткових умов (наприклад, ділення на нуль, переповнення тощо).
IEEE 754-2008, опублікований у серпні 2008 року, містить майже весь оригінальний стандарт IEEE 754-1985, а також стандарт IEEE 854-1987 для арифметики з рухомою крапкою, незалежну від кореня. Поточна версія, IEEE 754-2019, була опублікована в липні 2019 року.[2] Це незначна редакція попередньої версії, яка включає в основному уточнення, виправлення дефектів і нові рекомендовані операції.
Коротка історія
ред.Стандарт IEEE 754 був розроблений робочою групою Floating-Point Working Group комітету стандартів Інституту інженерів з електротехніки та електроніки IEEE у 1985 році. Провідну роль у розробці стандарту відіграв професор Каліфорнійського університету в Берклі Вільям Кехен, якого часто називають «батьком рухомої коми»[3].
Після 2000 року робоча група зайнялася удосконаленням існуючого стандарту IEEE Std 754—1985 з метою усунення недоліків, об'єднання його зі стандартом IEEE Std 854—1987 та доповнення новими можливостями[4]. Ця робота завершилася у 2008 році прийняттям нового стандарту IEEE Std 754—2008[1]. Пізніше цей стандарт був затверджений Міжнародною організацією зі стандартизації як ISO/IEC/IEEE 60559:2011[5].
Основний формат (basic format) — одне із п'яти представлень чисел з рухомою комою (три двійкових і два десяткових), визначених цим стандартом і призначених для арифметики.
Формат обміну (interchange format) — формат, що має визначене кодування фіксованої ширини, визначене цим стандартом.
Формат розширеної точності (extended precision format) — формат, який розширює основний формат, надаючи більшу точність і діапазон представлення чисел.
Формат розширюваної точності (extendable precision format) — формат з точністю і діапазоном, які визначаються користувачем.
Не число (not a number, NaN) — код, який не є чинним представленням жодного з чисел з рухомою комою. Буває двох типів «тихе не число» та «сигнальне не число».
Тихе не число (quiet NaN, qNaN) — є результатом операції, який не є числом з рухомою комою, хоча й не призводить до генерації виключень (наприклад, операції 0/0 або корінь з від'ємного числа дають NaN).
Сигнальне не число (signaling NaN, sNaN) — сигналізує про неприпустиме значення числа з рухомою комою шляхом генерації виключення. Зазвичай сигналізує про неініціалізовані змінні.
Зміщений порядок (biased exponent) — сума порядку і зміщення (константи), обраного так, щоб усі порядки були невід'ємними.
Хвіст мантиси (trailing significand) — дробова частина нормалізованої мантиси (для двійкового представлення — усі біти мантиси, крім найстаршого).
Формати
ред.Стандарт визначає формати чисел з рухомою комою, які використовуються для представлення скінченної підмножини дійсних чисел. Формати характеризуються основою системи числення (radix або base), точністю (precision) і діапазоном значень порядку (range). Визначені конкретні кодування для двійкових і десяткових форматів.
Оновлений стандарт IEEE Std 754—2008 визначає два види форматів:
- формати обміну, визначені як бітові послідовності фіксованої довжини, що дозволяють здійснювати обмін даними між різними платформами (за умови, що вирішені питання порядку слідування байтів);
- формати розширеної і розширюваної точності, кодування яких точно не визначене, але може відповідати форматам обміну.
Формати обміну включають п'ять основних форматів фіксованого розміру:
- три двійкових формати з кодами довжиною 32, 64 і 128 біт (binary32, binary64, binary128);
- два десяткових формати з кодуваннями довжиною 64 і 128 біт (decimal64, decimal128).
Формати binary32 і binary64 відповідають форматам одинарної та подвійної точності стандарту IEEE 754—1985.
Параметри кодування чисел
ред.Представлення даних з рухомою комою включає:
- трійку елементів (знак s, порядок e, мантиса m); в системі числення за основою b число з рухомою комою має вигляд (−1)s × m × be;
- дві нескінченності +∞, −∞;
- два типи не чисел qNaN (тихе), sNaN (сигнальне).
Кодування переводить дані з рухомою комою в бітову послідовність. Бітові послідовності NaN можуть містити ретроспективну діагностичну інформацію.
Числа з рухомою комою представляються в заданому форматі за допомогою наступних параметрів:
- основа b (2 або 10);
- кількість цифр мантиси (точність) p;
- максимальний порядок e = emax;
- мінімальний порядок e = emin.
Для всіх форматів справедливо emin = 1 − emax.
Кодування двійкових даних
ред.Дані з рухомою комою у форматах обміну представляються k бітами за допомогою трьох полів:
- 1-бітовий знак S;
- w-бітовий зміщений порядок E = e + bias;
- t-бітовий (t = p−1) хвіст мантиси T = d1d2…dp−1; ведучий біт мантиси d0, неявно закодований у зміщеному порядку E.
MSB | LSB |
знак S | порядок E | хвіст мантиси T |
1 біт | w бітів | t = p — 1 бітів |
Для представлення у цьому форматі двійкове число спочатку нормалізується, тобто приводиться до такого вигляду, коли мантиса потрапляє в діапазон 1 ≤ m < 2. Таким чином ціла частина нормалізованої мантиси завжди дорівнює 1.
Знак додатних чисел кодується нулем, від'ємних одиницею. В поле порядку пишеться зміщений порядок — до порядку нормалізованого числа додається константа, таким чином всі порядки представляються додатними числами. В поле мантиси записується, т. зв. «хвіст» мантиси — всі дробові цифри мантиси (крім першої одиниці, яка є цілою частиною). Ціла частина мантиси в нормалізованому вигляді дорівнює 1 і не входить до коду числа. Це так звана прихована одиниця.
Приклад. 0,312510 = 0,01012 = 1,01 × 2−2. Для формату binary32 порядок зміщується на 127. E = –2 + 127 = 125 = 11111012. Мантиса записується без першої одиниці, тобто T = 01 (1,01 –1 = 0,01). Компоненти коду: знак — 0 (1 розряд), зміщений порядок — 01111101 (8 розрядів), хвіст мантиси 01000000000000000000000 (23 розряди).
Повний 32-бітний код 00111110101000000000000000000000. Кольором виділено поле порядку.
Зведена таблиця форматів IEEE Std 754—2008
ред.Формат | Назва | Основа | Цифр мантиси |
Десяткових цифр |
Бітів порядку |
Десяткове E max |
Зміщення порядку |
E min | E max | Примітки |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
binary16 | Half precision | 2 | 11 | 3.31 | 5 | 4.51 | 24−1 = 15 | −14 | +15 | не основний |
binary32 | Single precision | 2 | 24 | 7.22 | 8 | 38.23 | 27−1 = 127 | −126 | +127 | |
binary64 | Double precision | 2 | 53 | 15.95 | 11 | 307.95 | 210−1 = 1023 | −1022 | +1023 | |
binary128 | Quadruple precision | 2 | 113 | 34.02 | 15 | 4931.77 | 214−1 = 16383 | −16382 | +16383 | |
decimal32 | 10 | 7 | 7 | 7.58 | 96 | 101 | −95 | +96 | не основний | |
decimal64 | 10 | 16 | 16 | 9.58 | 384 | 398 | −383 | +384 | ||
decimal128 | 10 | 34 | 34 | 13.58 | 6144 | 6176 | −6143 | +6144 |
Примітки
ред.- ↑ а б в IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic [Архівовано 19 лютого 2017 у Wayback Machine.]. IEEE, 2008.
- ↑ IEEE 754, 2019
- ↑ Haigh, Thomas. William («Velvel») Morton Kahan (англ.). Архів оригіналу за 3 червня 2017. Процитовано 3 лютого 2017.
- ↑ Handbook of Floating-Point Arithmetic [Архівовано 16 лютого 2017 у Wayback Machine.]. Birkhäuser Boston, 2010.
- ↑ ISO/IEC/IEEE 60559:2011 — Інформаційні технології — Мікропроцесорні системи — Арифметика з рухомою комою. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 3 лютого 2017.
Посилання
ред.- IEEE Computer Society. IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. — New York : IEEE, 1985. — 23 с. — ISBN 0-7381-1165-1.
- IEEE Computer Society. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. — New York : IEEE, 2008. — 70 с. — ISBN 978-0-7381-5752-8.
- Muller Jean-Michel та ін. Handbook of Floating-Point Arithmetic. — Boston : Birkhäuser, 2010. — 572 с. — ISBN ISBN 978-0-8176-4705-6.
- Онлайн конвертор IEEE 754 [Архівовано 30 квітня 2017 у Wayback Machine.]
Це незавершена стаття про інформаційні технології. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |