Числа Серпінського

Числом Серпінського називається таке непарне натуральне число k, що для довільного натурального n число $k\cdot 2^{n}+1$ є складеним.

Якщо, натомість, елементи множини з тими ж властивостями мають форму $k\cdot 2^{n}-1$, числа k називаються числами Різеля.

Відомі числа Серпінського

Послідовність відомих чисел Серпінського починається так:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, … послідовність A076336 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Те, що 78557 є числом Серпінського, довів Джон Селфрідж 1962 року. Він показав, що кожне число виду $78557\cdot 2^{n}+1$ ділиться принаймні на одне з чисел покриваючої множини {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Аналогічно, 271129 також є числом Серпінського: кожне число число виду $271129\cdot 2^{n}+1$ ділиться принаймні на одне число з покриваючої множини {3, 5, 7, 13, 17, 241}. Усі відомі числа Серпінського мають подібні множини.

Проблема Серпінського

Задача пошуку мінімального числа Серпінського відома як проблема Серпінського.

1967 року Селфрідж і Серпінський припустили, що найменшим числом Серпінського є 78557. Для доведення цієї гіпотези достатньо показати, що всі менші непарні числа не є числами Серпінського. Станом на листопад 2018 року це твердження залишалося довести для п'яти чисел:

21181, 22699, 24737, 55459 і 67607.

У проєкті добровільних розподілених обчислень PrimeGrid для кандидатів на числа Серпінского перевіряють на простоту числа $k\cdot 2^{n}+1$ для всіх k, що залишаються.

У жовтні 2016 року було вилучено кандидата k = 10223: у PrimeGrid знайшли просте число $10223\times 2^{31172165}+1$. Це число складається з 9 383 761 цифр.

Посилання

• Prime Riddle(англ.) — стаття про числа Серпінского.