Циклічний многогранник

Циклі́чний многогра́нник — опуклий многогранник, вершини якого лежать на кривій $t\mapsto (t,t^{2},\dots ,t^{d})$ в $\mathbb {R} ^{d}$.

Конструкція

Нехай

$\mathbf {x} (t)=(t,t^{2},\dots ,t^{d})\in \mathbb {R} ^{d}$

і $t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}$.

Опукла оболонка $n$ точок $\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})$ називається $d$-вимірним циклічним многогранником з $n$ вершинами і далі позначається $C(n,d)$.

Властивості

• Критерій Гейла: Нехай $T=\{t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\}$, і $T_{d}\subset T$ — підмножина з $d$ елементів. Гіпергрань у $C(n,d)$ відповідає $T_{d}$ тоді й лише тоді, коли між будь-якими двома сусідніми числами в $T_{d}$ лежить парне число чисел $T$.
• Будь-які $\lfloor {\tfrac {d}{2}}\rfloor$ вершин $C(n,d)$ утворюють грань.
  • Зокрема, будь-які дві вершини 4-вимірного циклічного многогранника з'єднані ребром.
• Число $i$-вимірних граней у $C(n,d)$ при $0\leq i<\lfloor {\frac {d}{2}}\rfloor$ дорівнює ${\binom {n}{i+1}}$.
  • Використовуючи тотожності Дена — Сомервіля, можна знайти число граней старших розмірностей.
  • Для будь-якого $k$ серед усіх $d$-вимірних многогранників з $n$ вершинами циклічні многогранники мають найбільше число $k$-вимірних граней.

Література

• В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика») — ISBN 5-94057-024-0.