Теорема про структуру оператора з поліноміальними коефіцієнтами

Оператор

$L=a(x,y){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+2b(x,y){\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}+c(x,y){\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+d(x,y){\frac {\partial }{\partial x}}+e(x,y){\frac {\partial }{\partial y}}+f(x,y)$

з поліноміальними коефіцієнтами $a(x,y)$, $b(x,y)$, $c(x,y)$, $d(x,y)$, $e(x,y)$, $f(x,y)$ зберігає векторний простір $V_{n}$ всіх многочленів $P(x,y)$ таких, що $\deg P\leq n$ для деякого $n\geq 2$, тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти оператора $L$ мають наступний вигляд:

$a=q_{1}x^{4}+q_{2}x^{3}y+q_{3}x^{2}y^{2}+k_{1}x^{3}+k_{2}x^{2}y+k_{3}xy^{2}+a_{1}x^{2}+a_{2}xy+a_{3}y^{2}+a_{4}x+a_{5}y+a_{6},$

$b=q_{1}x^{3}y+q_{2}x^{2}y^{2}+q_{3}xy^{3}+{\frac {1}{2}}[k_{4}x^{3}+(k_{1}+k_{5})x^{2}y+(k_{2}+k_{6})xy^{2}+k_{3}y^{3}]+b_{1}x^{2}+b_{2}xy+b_{3}y^{2}+b_{4}x+b_{5}y+b_{6},$

$c=q_{1}x^{2}y^{2}+q_{2}xy^{3}+q_{3}y^{4}+k_{4}x^{2}y+k_{5}xy^{2}+k_{6}y^{3}+c_{1}x^{2}+c_{2}xy+c_{3}y^{2}+c_{4}x+c_{5}y+c_{6},$

$d=(1-n)[2(q_{1}x^{3}+q_{2}x^{2}y+q_{3}xy^{2})+k_{7}x^{2}+(k_{2}+k_{8}-k_{6})xy+k_{3}y^{2}]+d_{1}x+d_{2}y+d_{3},$

$e=(1-n)[2(q_{1}x^{2}y+q_{2}xy^{2}+q_{3}y^{3})+k_{4}x^{2}+(k_{5}+k_{7}-k_{1})xy+k_{8}y^{2}]+e_{1}x+e_{2}y+e_{3},$

$f=n(n-1)[q_{1}x^{2}+q_{2}xy+q_{3}y^{2}+(k_{7}-k_{1})x+(k_{8}-k_{6})y]+f_{1}.$

Див. також

• Гамільтоніан
• Теорія груп

Джерела

Соколов В.В., Алгебраические квантовые гамильтонианы на плоскости. Теоретическая и математическая физика, т.184.- 2015.- С.57--70.