Теорема Фенхеля про поворот кривої

Теорема Фенхеля стверджує, що варіація повороту будь-якої замкнутої кривої не менша від $2{\cdot }\pi$ і рівність досягається лише в разі опуклої плоскої кривої. Зокрема, середня кривина замкнутої кривої довжини $\ell$ не може бути меншою від $2{\cdot }\pi /\ell$.

Теорему довів Вернер Фенхель 1929 року.

Про доведення

Зазвичай доведення будують на твердженні, що сферична крива довжини менше ніж $2{\cdot }\pi$ лежить у відкритій півсфері. Це твердження можна довести, наприклад, застосувавши формулу Крофтона, але відомі й елементарніші доведення.

Залишається зауважити, що крива, утворена одиничними дотичними векторами (дотична індикатриса) до початкової кривої, не може лежати у відкритій півсфері. Отже її довжина не менша від $2{\cdot }\pi$, довжина ж цієї кривої збігається з інтегралом кривини.

Варіації та узагальнення

• Лема Решетняка про хорду. Якщо регулярна гладка $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ підходить до своєї хорди $[\gamma (a),\gamma (b)]$ під кутами $\alpha$ і $\beta$, то поворот кривий $\gamma$ принаймні $\alpha +\beta$.
  • Це твердження легко випливає з теореми Фенхеля, але найчастіше його зручніше використовувати. Наприклад, сама теорема Фенхеля випливає, якщо застосувати лему до розбиття замкнутої кривої на дві дуги.

Див. також

• Теорема Фарі — Мілнора
• Теорема про поворот плоскої кривої

Література

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.