Теорема Фалеса про пропорційні відрізки
Теорема Фалеса — одна із теорем планіметрії. У математичній літературі країн колишнього Радянського Союзу відома як теорема Фалеса та узагальнена теорема Фалеса (теорема про пропорційні відрізки).
У європейській літературі теоремою Фалеса найчастіше називають іншу теорему.
Історія
ред.Теорема Фалеса належить давньогрецькому математику і філософу Фалесу Мілетському. За легендою, Фалес Мілетський знаходив висоту піраміди Хеопса, вимірюючи довжину її тіні на землі та довжину тіні палиці, вимірюваної висоти. Найперше письмове доведення цієї теореми подано в книзі «Начала» (книга VI).
Формулювання
ред.Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на одній прямій рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.
- то
Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на них пропорційні відрізки.
Доведення теореми Фалеса
ред.Нехай дано паралельні прямі , які перетинають прямі і , причому (дивитись праворуч Малюнок 1).
Через точки і проведено прямі і , паралельні прямій .
за другою ознакою рівності трикутників, оскільки:
1) — за умовою,
2) — відповідні кути при паралельних прямих і ,
3) — відповідні кути при паралельних прямих і .
З рівності трикутників = , як відповідні сторони рівних трикутників.
З побудови (Малюнок 1) чотирикутник — паралелограм, тому .
З побудови (Малюнок 1) чотирикутник — паралелограм, тому .
Звідси і .
Доведення узагальненої теореми Фалеса
ред.Нехай прямі і перетинають паралельні прямі у точках і відповідно (дивитись праворуч Малюнок 2).
Доведемо, що для випадку, коли існує відрізок такої довжини , який можна відкласти ціле число разів на відрізку і . Нехай , і . Поділимо відрізок на рівних частин (довжиною ), точка - одна з точок поділу. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні . За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок на рівні відрізки деякої довжини . Отримаємо: , , і .
Література
ред.- Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7—9 кл. загальноосвіт. навч. закл. — 7-ме вид. — К. : Школяр, 2004. — С. 85—87.
Посилання
ред.- Фалеса теорема // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |