Відкрити головне меню

Теорема Райкова — твердження в теорії ймовірностей. Добре відомо, що якщо випадкові величини та незалежні та розподілені по закону Пуассона, то їх сума також розподілена по закону Пуассона. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження[1][2][3].

Формулювання теоремиРедагувати

Нехай випадкова величина   має розподіл Пуассона та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин  . Тоді розподіли випадкових величин   та   є зсувами розподілів Пуассона.

КоментарРедагувати

Теорема Райкова аналогічна теоремі Крамера, в якій стверджується, що якщо сума двох незалежних випадкових величин має нормальний розподіл, то кожна з цих випадкових величин також має нормальний розподіл. Ю.В. Линник довів, що згортка нормального розподілу та розподілу Пуассона також має аналогічну властивість (теорема Линника).

Узагальнення на локально компактні абелеві групиРедагувати

Нехай   — локально компактна абелева група. Позначимо через   півгрупу за згорткою ймовірнісних розподілів на  , а  через   — вироджений розподіл, зосереджений в точці  . Нехай  ,  .

Розподілом Пуассона, породженим мірою  , називається зсув розподілу виду

 

Має місце наступне твердження.

Теорема Райкова на локально компактних абелевих групахРедагувати

Нехай   — розподіл Пуассона, породжений мірою  . Нехай  де  . Якщо   — або елемент нескінченого порядку, або порядку 2, то   також є розподілом Пуассона. Якщо ж   — елемент скінченного порядку  ,  , то   може бути не розподілом Пуассона.

ЛітератураРедагувати

  1. Райков Д. А. (1937). О разложении закона Пуассона. ДАН СССР 14: 9–12. 
  2. [1]Рухин А. Л. (1970). Некоторые статистические и вероятностные задачи на группах. Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова 11: 52–109. 
  3. Линник Ю. В., Островский И. В. (1972). Разложения случайных величин и векторов. Москва: Наука.