Теорема Мікеля

Теорема Мікеля — твердження в планіметрії, пов'язане з перетином трьох кіл, кожне з яких проходить через вершину трикутника і дві точки на прилеглих до неї сторонах. Названо на честь французького математика Огюста Мікеля. Ця теорема — один з декількох отриманих Мікелем результатів, що стосуються кіл у геометрії, і опублікованих ним у Journal de mathématiques pures et appliquées.

Малюнок, на якому зображено три кола, що проходять через вершини трикутника $ABC$ і точки $A'$, $B'$ і $C'$, які лежать на сусідніх сторонах трикутника, і перетинаються у спільній точці M.

Теорема Мікеля для різних видів трикутників

Формулювання

Нехай $ABC$ — трикутник із довільними точками $A'$, $B'$ і $C'$ на сторонах $BC$, $AC$ і $AB$ відповідно (або на їх продовженнях). Опишемо три кола навколо трикутників $AB'C'$, $A'BC'$, і $A'B'C.$ Теорема Мікеля стверджує, що ці три кола перетнуться в одній точці $M$, яку називають точкою Мікеля. Окрім того, рівні будуть також кути $\angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A$ (позначені на малюнку).

Окремий випадок

Якщо точка Мікеля — центр описаного кола трикутника, а діаметри трьох кіл Мікеля дорівнюють радіусу описаного кола трикутника, і кожне з трьох кіл Мікеля проходить через спільну для них точку — центр описаного кола, а також через дві проєкції цього центра на сторони трикутника і через одну з трьох вершин, тоді радіуси трьох кіл Мікеля однакові.

Див. також

• Точка Мікеля — інший результат Мікеля

Література

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, т. 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
• Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (вид. 5th), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005