Теорема Карно про перпендикуляри

Теорема Карно (названа в честь Лазара Карно) описує необхідну і достатню умову для того, щоб три прямі, перпендикулярні до сторін трикутника (або їх продовжень), перетиналися в одній точці. Теорему також можна розглядати як узагальнення теореми Піфагора.

Теорема Карно про перпендикуляри до сторін трикутника:
синя площа = червона площа

Теорема

Для трикутника $\triangle ABC$ зі сторонами $a,b,c$ розглянемо три прямі, які перпендикулярні до сторін трикутника і перетинаються в спільній точці $F$. Якщо $P_{a},P_{b},P_{c}$ є точками перетину зазначених трьох прямих зі сторонами $a,b,c$ трикутника відповідно, то виконується таке рівняння:

$|AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}.$

Істинним є і обернене твердження, тобто якщо зазначене рівняння виконується для точок перетину трьох прямих, перпендикулярних сторонам, та трьох сторін трикутника, то прямі перетинаються в одній точці. Отже, рівняння вказує на необхідну і достатню умову.

Особливі випадки

Якщо трикутник $\triangle ABC$ має прямий кут в точці $C$ і точка перетину $F$ збігається з будь-якою з точок $A$ або $B$, то рівняння, зазначене вище, дає теорему Піфагора. Наприклад, якщо $F$ збігається з $A$ тоді $|AP_{b}|=0$, $|AP_{c}|=0$, $|CP_{a}|=0$, $|CP_{b}|=b$, $|BP_{a}|=a$ і $|BP_{c}|=c$ . Отже, наведене вище рівняння перетворюється на теорему Піфагора $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Іншим наслідком теореми Карно про перпендикуляри є властивість перпендикулярних бісектрис трикутника перетинатися в спільній точці. У разі перпендикулярних бісектрис маємо, що $|AP_{c}|=|BP_{c}|$, $|BP_{a}|=|CP_{a}|$ і $|CP_{b}|=|AP_{b}|$ і, отже, виконується наведене вище рівняння, а це означає, що всі три перпендикуляри перетинаються в одній точці.

Література

• Wohlgemuth, Martin., ред. (2010). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet (German) . Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. с. 273—276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882.
• Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind (1996). Challenging Problems in Geometry. New York: Dover. с. 85–86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.

Посилання

• Флоріан Модлер: Vergessene Sätze am Dreieck — Der Satz von Carnot на matheplanet.com (нім.)
• Теорема Карно на cut-the-knot.org (англ.)