Числа Армстронга

Самозакохане число (англ. pluperfect digital invariant, PPDI), або число Армстронга — натуральне число, яке в даній системі числення дорівнює сумі своїх цифр, піднесених до степеня, що дорівнює кількості його цифр. Іноді щоб вважати число таким, достатньо, щоб степені, до яких підносяться цифри, були рівні m — тоді число можна назвати m-самозакоханим $407=4^{3}+0^{3}+7^{3}$.

Наприклад, десяткове число 153 — число Армстронга, тому що:

1³ + 5³ + 3³ = 153

Формальне визначення

Нехай $n=\sum _{i=1}^{k}d_{i}b^{i-1}$ — число, що записується $d_{k}d_{k-1}...d_{1}$ в системі числення з основою b.

Якщо при деякому m трапиться так, що $n=\sum _{i=1}^{k}{d_{i}}^{m}$, то n є m-самозакоханим числом. Якщо, понад те, $m=k$, то n можна назвати справжнім числом Армстронга.

Очевидно, що при будь-якому m може існувати лише скінченне число m-самозакоханих чисел, оскільки, починаючи з деякого k $k\cdot 9^{k}<10^{k-1}-1$.

Згадки в літературі

У «Апології математика» (англ. A Mathematician's Apology), Ґ. Гарді писав:

«Є лише чотири числа, крім одиниці, які дорівнюють сумі кубів своїх цифр:
$153=1^{3}+5^{3}+3^{3}$
$370=3^{3}+7^{3}+0^{3}$
$371=3^{3}+7^{3}+1^{3}$
і $407=4^{3}+0^{3}+7^{3}$.

Це незвичайний факт дуже зручний для головоломних розділів у газетах і для розваги зацікавлених, але в ньому немає нічого, що б приваблювало до нього математиків»

Числа Армстронга в різних системах числення

• У проміжку 1 <= N <= 11 знаходяться такі 35 чисел Армстронга:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 3 деякому виразу від їхніх власних цифр. Наприклад, такими можуть бути: досконалі і дружні числа, числа Брауна, числа Фрідмана, щасливі квитки тощо.

Література

• Jostion , Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966, стор. 163—175.

Зовнішні посилання

• Weisstein, Eric W. Стаття про самозакохані числа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• послідовність A005188 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
• Narcissistic Numbers (англ.) ^{[недоступне посилання]}
• Digital Invariants (англ.)

Див. також

• Нарцис (міфологія), нарцисизм.