Ряд Тейлора: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
мНемає опису редагування |
Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
||
Рядок 198:
== Обчислення рядів Тейлора ==
Існує декілька методів обчислення рядів Тейлора. Можна спробувати використати означення ряду, однак цей спосіб часто вимагає узагальнення форми коефіцієнтів. Також можна використовувати такі маніпуляції, як заміна, множення або ділення, додавання або [[віднімання]] стандартних рядів Тейлора, щоб побудувати ряд Тейлора функції, оскільки ряд Тейлора є степеневим рядом. У деяких випадках можна знайти ряд Тейлора, багаторазово застосовуючи [[Інтегрування частинами|інтегрування по частинах]].
'''Перший приклад:'''
Рядок 237:
В загальному степеневий розклад має такий вигляд:
:<math>\frac{e^x}{\cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\!</math>
Тоді множення <math>g(x)</math> на її [[знаменник]] і підстановка ряду Маклорена косинуса дає наступне:
:<math>\begin{align} e^x &= \left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\right)\cos x =\\
&=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right) =\\&=c_0 - \frac{c_0}{2}x^2 + \frac{c_0}{4!}x^4 + c_1x - \frac{c_1}{2}x^3 + \frac{c_1}{4!}x^5 + c_2x^2 - \frac{c_2}{2}x^4 + \frac{c_2}{4!}x^6 + c_3x^3 - \frac{c_3}{2}x^5 + \frac{c_3}{4!}x^7 + c_4x^4 +\cdots \end{align}\!</math>
Рядок 348:
* Ряд Тейлора визначається для функції, яка має нескінченно багато похідних в одній точці, тоді як ряд Фур’є визначається для будь-якої інтегровної функції. Зокрема, функція може бути ніде диференційованою. Наприклад, [[функція Веєрштрасса]].
* Збіжність обох рядів має різні властивості. Навіть якщо ряд Тейлора має додатній радіус збіжності, то отриманий ряд може не збігатися з функцією; але якщо функція є аналітичною, то ряд [[Поточкова збіжність|збігається поточково]] до функції та [[Рівномірна збіжність|рівномірно]] на кожній компактній підмножині інтервалу збіжності. Щодо ряду Фур’є, якщо функція [[Простір Lp#Простір L2|квадратично інтегровна]], то ряд збігається в середньому квадратичному, але необхідні додаткові вимоги для забезпечення поточкової або рівномірної збіжності. Наприклад, якщо функція є періодичною та неперервно диференційовною, то збіжність є рівномірною.
* На практиці потрібно апроксимувати функцію скінченною кількістю членів, скажімо, поліномом Тейлора або частковою сумою тригонометричного ряду відповідно. У випадку ряду Тейлора помилка дуже мала в околах точки, де вона обчислюється, тоді як вона може бути дуже великою у більш віддаленій точці. У випадку ряду Фур'є похибка розподілена по всій [[Область визначення|області визначення функції]].
== Див. також ==
| |||