Факторіал: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м Відкинуто редагування 77.222.153.240 (обговорення) до зробленого SMZinovyev Мітка: Відкіт |
Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
||
Рядок 322:
: <math>\Gamma\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{7}{2}\right)! = \Pi\left(-\frac{7}{2}\right) = \frac{2}{-1}\cdot\frac{2}{-3}\cdot\frac{2}{-5} \sqrt{\pi} = \frac{\left(-4\right)^3 3!}{6!} \sqrt{\pi} = -\frac{8}{15} \sqrt{\pi} \approx -0.945\,308\ldots</math>
Пі функція, звичайно, не є єдиним способом розширити факторіал до вигляду функції визначеної для майже всіх комплексних значень, і навіть не є єдиною функцією, що є [[Аналітична функція|аналітичною]] у області її визначення. Однак зазвичай її розглядають як найбільш природний спосіб поширити значення факторіала до комплексної функції. Наприклад, [[Бор-Молерупова теорема]] стверджує, що гамма-функція, що приймає значення 1 при 1, задовольняє функціональному рівнянню {{math|Γ(''n'' + 1) {{=}} ''n''Γ(''n'')}}, є [[Мероморфна функція|мероморфною]] для [[Комплексне число|комплексних чисел]], і є [[Логарифмічно опукла функція|логарифмічно опуклою функцією]] у додатній частині осі дійсних чисел. Подібне твердження є дійсним так само і для пі функції, при використанні функціонального рівняння {{math|Π(''n'') {{=}} ''n''Π(''n'' − 1)}}.
Однак, існують комплексні функції, які імовірно простіші з точки зору теорії аналітичних функцій і які також інтерполюють значення факторіала. Наприклад, {{нп|гамма функція Гадамарда||en|Hadamard's gamma function}} {{harv|Hadamard|1894}} яка, на відміну від гамма-функції є [[Ціла функція|цілою функцією]].<ref>{{cite web|first=Peter |last=Luschny |url=http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html |title=Hadamard versus Euler – Who found the better Gamma function? |deadurl=yes |archive-url=https://web.archive.org/web/20090818171719/http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html |archive-date=2009-08-18 }}</ref>
Рядок 347:
Тонкі лінії показують проміжні рівні при сталій амплітуді і сталій фазі. В полюсах для кожного від'ємного цілого, фаза і амплітуда не визначені. Ізолінії стають густішими в околі сингулярностей здовж від'ємних цілих значень аргументу.
Для |''z''| < 1, можна застосувати розкладання в [[ряд Тейлора]]:
: <math>z!=\sum_{n=0}^\infty g_n z^n\,.</math>
Перші коефіцієнти цього розкладання будуть наступними
Рядок 416:
=== Від'ємні цілі аргументи ===
Відношення {{math|''n''! {{=}} ''n'' × (''n'' − 1)!}} дозволяє розрахувати факторіал заданого [[Цілі числа|цілого числа]] у випадку не великих значень. Це співвідношення можна переписати таким чином, аби мати можливість розрахувати факторіал для відносно великих цілих чисел:
: <math>(n-1)! = \frac{n!}{n} .</math>
| |||