Формула Ньютона — Ляйбніца: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
→Джерела: додав Фіхтенгольц.укр |
Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
||
Рядок 2:
'''Фо́рмула Ньюто́на-Ляйбніца''' для обчислення [[визначений інтеграл|визначеного інтегралу]] є узагальненням методу [[Архімед]]а для обчислення [[площа|площ]] і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, [[об'єм]]ів тіл, довжин кривих та інших задач.
Нехай функція <math>f(x)</math> [[Неперервна функція|неперервна]] на відрізку '''[а, b]''' і відома її [[первісна]] <math>F(x)</math>, тоді [[визначений інтеграл]] від функції <math>f(x)</math> можна обчислити за формулою:
: <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)</math>
Рядок 86:
: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). </math>
Вираз ліворуч є визначенням [[Похідна|похідної]] від ''F'' у ''x''<sub>1</sub>.
: <math>F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3) </math>
Рядок 168:
Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також <math>\Delta x_i</math> не обов'язково має бути однаковим для всіх ''i'', інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через ''n'' прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а ''n'' збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтегралу кривої.
З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше <math>\Delta x</math>, прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до [[Нескінченність|нескінченності]], ми досягаємо інтегралу Рімана. Границя існує, бо за припущенням ''f'' інтегровна.
Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо
| |||