Цілі числа: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
→Див. також: + Вікіцитати |
Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
||
Рядок 19:
== Історія ==
Розвиток математики почався з навичок практичної лічби (один, два, три, чотири…), тому натуральні числа виникли ще в доісторичний період як [[ідеалізація]] [[Скінченна множина|скінченної множини]] однорідних, стійких і неподільних об'єктів (людей, овець, днів тощо). Додавання з'явилося як [[математична модель]] таких важливих подій, як об'єднання кількох множин (стад, мішків тощо) в одне, а [[віднімання]] відображало, навпаки, відокремлення частини множини. Множення для натуральних чисел з'явилося в якості, так би мовити, пакетного додавання: 3{{nbsp}}×{{nbsp}}4 означало суму «{{num|3|рази}} по{{nbsp}}4», тобто {{nobr|4 + 4 + 4}}. Властивості і взаємозв'язок операцій відкривалися поступово<ref>{{книга-ру|автор=Мах Э.|часть=Познание и заблуждение|заглавие=Альберт Эйнштейн и теория гравитации|место=М.|издательство=Мир|год=1979|страницы=74 (подстрочное примечание)|страниц=592}}: «перш ніж виникне поняття про число, має існувати досвід, що в зрозумілому сенсі ''рівноцінні'' об'єкти існують ''множинно і незмінно''».</ref><ref>{{книга-ру |автор={{нп|Моріс Клайн|Клайн М.|ru|Клайн, Морис}} |заглавие=Математика. Утрата определённости |издательство=Мир |место=М. |год=1984 |страниц=446 |страницы=109—112}}</ref>.
Початковим кроком на шляху розширення натуральних чисел стала поява нуля; першими цей символ стали застосовувати, напевно, {{нп|Індійська математика|індійські математики||Indian mathematics}}. Спочатку нуль застосовувався не як число, а як цифра при позиційному запису чисел, потім поступово став визнаватися і як повноцінне число, що означає відсутність чого-небудь (наприклад, повне розорення торговця)<ref>{{Книга-ру|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Особые числа других культур|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии|издательство=DeAgostini|год=2014|том=21|страницы=115|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}</ref>.
Рядок 248:
# '''Множення''': добуток пар <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math> визначається як пара <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>.
Неважко перевірити, що результати додавання і множення не змінюються, якщо будь-яку пару ми замінимо на рівну їй, тобто нова пара-результат буде рівною попередній (у зазначеному визначенням 1 сенсі рівності). Неважко також переконатися, що описана структура пар задовольняє всьому наведеному переліку аксіом цілих чисел. [[Додатне число|Додатні числа]] моделюються парами <math>\left(a,b\right)</math>, яких <math>a>b</math>, нуль зображують пари виду <math>\left(a,a\right)</math>, а пари <math>\left(a,b\right)</math> з <math>a<b</math> відповідають від'ємним числам.
Ця модель дозволяє прояснити, як з аксіом цілих чисел однозначно випливають їх властивості; покажемо це для «правила знаків». Наприклад, помноживши два «від'ємні числа» <math>\left(a,b\right)</math> і <math>\left(c,d\right)</math>, у яких <math>a<b,\ c<d</math>ми за визначенням отримаємо пару <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>. Різниця <math>ac+bd - \left(ad+bc\right)</math> дорівнює <math>\left(b-a\right)\left(d-c\right)</math>, це число додатне, тому пара-добуток зображує додатне ціле число, отже, добуток від'ємних чисел додатний. Будь-яке інше правило (скажімо, «добуток від'ємних чисел від'ємний») зробило б теорію цілих чисел суперечливою.
| |||