Числення висловлень: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м Робот: Форматування ISBN |
м r2.7.2+) (робот додав: ky:Логикалык сүйлөө; косметичні зміни |
||
Рядок 4:
Численням висловлень є формальна система <math>\mathcal{L} = \mathcal{L} \left( \Alpha,\ \Omega,\ \Zeta,\ \Iota \right)</math>, де:
* [[Множина]] <math>\ \Alpha</math> є [[скінченна множина|скінченною множиною]] ''символів висловлень'' (чи ''елементарних висловлювань'', ''пропозиційних змінних'', ''атомарних формул'').
* Множина <math>\ \Omega</math> — скінченна множина [[логічний сполучник|логічних зв'язок (логічних операторів)]]. Дану множину можна [[розбиття множини|розбити]] на підмножини:
:::<math>\Omega = \Omega_0 \cup \Omega_1 \cup \ldots \cup \Omega_j \cup \ldots \cup \Omega_m.</math>
Рядок 17:
:::<math>\Omega_2 \subseteq \{ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow \}.</math>
* Множина <math>\ \Zeta</math> є скінченною множиною [[правила виводу|правил виводу]], що дозволяють одержувати одні формули з інших.
* Множина <math>\ \Iota</math> є скінченною множиною, елементи якої називаються [[аксіома]]ми. В окремих прикладах дана множина може бути пустою.
''Мовою'' числення висловлень є множина формул, що визначаються [[рекурсія|рекурсивно]] за допомогою наступних правил:
Рядок 27:
# інших формул, ніж побудовані за правилами 1 і 2 немає.
=== Виведення формул і теорем ===
Нехай <math>\Sigma\;</math> деяка множина формул <math>\mathcal{L}</math>, а <math>A</math> — деяка задана формула то кажуть, що формула <math>A</math> виводиться з множини формул <math>\Sigma\;</math> (позначається <math>\Sigma \vdash A</math>), якщо існує така [[скінченна послідовність]] формул <math>A_1, A_2 \ldots A_n = A</math> де для кожної формули <math>A_i</math>:
# <math>A_i</math> є аксіомою, або
# <math>A_i</math> належить множині <math>\Sigma\;</math> або
# <math>A_i</math> виводиться з попередніх формул послідовності за допомогою котрогось із правил виводу.
Якщо при цьому множина <math>\Sigma\;</math> — пуста (формула <math>A</math> виводиться лише за допомогою аксіом і правил виводу) то формула <math>A</math> називається теоремою (для цього використовується позначення <math>\vdash A</math>).
Рядок 37:
== Приклади аксіоматики ==
=== Приклад 1 ===
# Алфавіт (елементи множини <math>\Alpha</math>) числення висловлень складається з елементарних висловлень (пропозиційних змінних): <math>a,b,c,d,\dots,x,y,z</math> (можливо з індексами), логічними операціями є <math>\lor , \land , \lnot , \rightarrow,</math> .
Рядок 64:
У даних схемах аксіом та правила виводу символи <math>A,B,C</math> можна заміщувати усіма допустимими формулами, після чого і отримуються конкретні аксіоми.
==== Приклад виведення теореми ====
Користуючись поданими аксіомами і правилом виведення покажемо, що (<math>D\rightarrow D</math>) є теоремою в даній формальній системі для будь-якої формули <math>D</math>.
Рядок 85:
|}
=== Приклад 2 (аксіоми Лукасевича) ===
# Алфавіт (елементи множини <math>\Alpha</math>) числення висловлень складається з елементарних висловлень (пропозиційних змінних): <math>a,b,c,d,\dots,x,y,z</math> (можливо з індексами), логічними операціями є <math>\lnot , \rightarrow,</math> .
# Поняття формули визначається аналогічно алгебрі висловлень.
Рядок 94:
Наступну просту систему аксіом запропонував польський логік [[Ян Лукасевич]]:
# <math>(A \to (B \to C))</math>
# <math>((A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C)))</math>
# <math>((\neg A \to \neg B) \to (B \to A))</math>
Єдиним правилом виводу є:
Рядок 103:
Як і у попередньому прикладі дані вирази є схемами аксіом.
==== Приклад виведення теореми ====
Користуючись аксіомами Лукасевича і правилом виведення покажемо, що (<math>D\rightarrow D</math>) є теоремою в даній формальній системі для будь-якої формули <math>D</math>.
Рядок 208:
== Див. також ==
* [[Математична логіка]]
* [[Булева алгебра]]
* [[Логіка першого порядку]]
* [[Числення секвенцій]]
* [[Кон'юнктивна нормальна форма]]
* [[Диз'юнктивна нормальна форма]]
== Джерела ==
Рядок 245:
[[ja:命題論理]]
[[ko:명제 논리]]
[[ky:Логикалык сүйлөө]]
[[la:Logica propositionalis]]
[[lt:Teiginių logika]]
| |||