Мультиплікативна група кільця лишків за модулем n: відмінності між версіями

В [[модульна арифметика|модульній арифметиці]], множина [[Модульна арифметика#Кільце класів рівності за модулем|класів рівності]] чисел, що є [[взаємно прості числа|взаємно простихпростими]] до модуля ''n'' утворюють [[група (алгебра)|групу]] над операцією множення відому як '''мультиплікативна група кільця лишків за модулем ''n''''' ({{lang-en|Multiplicative group of integers modulo ''n'', primitive residue classes modulo ''n''}}). В [[кільце (алгебра)|теорія кілець]], відгалужені [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]], її описують як групу [[Оборотний елемент|оборотних елементів]] кільця лишків за модулем ''n''. (Оборотний елемент, тобто такий, що має [[Обернене за модулем число|обернений за модулем]].)

Природне відображення з множини цілих чисел в класи рівності за модулем ''n'', що переводить ціле число в його клас рівності за модулем ''n'' зберігає добуток. ЦєЦе призводить до того, що клас, який містить 1 є єдиним [[Нейтральний елемент|нейтральним елементом]] щодо множення, [[Асоціативність|асоціативний]] і [[комутативність|комутативний]] закони також виконуються. Насправді це [[гомоморфізм кілець]].

Кільце лишків за модулем ''n'' позначають <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>&nbsp; або&nbsp; <math>\mathbb{Z}/(n)</math> &nbsp; (тобто, кільце цілих за модулем [[ідеал (алгебра)|ідеалідеала]] ''n'''''Z''' = (''n''), який складається з чисел кратних ''n''), або як <math>\mathbb{Z}_n</math> (хоча останню можна сплутати з [[P-адичне число|{{math|<var>p</var>}}-адичними числами]] у випадку <math>n=p</math>). Залежно від автора цю групу оборотних елементів (units) записують як <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,</math> &nbsp; <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times,</math> &nbsp; <math>U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),</math> &nbsp; <math>E(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})</math> &nbsp; (німецькою ''Einheit'' = unitоборотний елемент) або щось інше в цьому ключі. Ця стаття використовує <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times.</math>

Будь-які два цілих числа рівні за модулем 1, тобто існує лише один клас рівності. Кожне ціле взаємно просте до 1. Отже єдиний клас рівності за модулем 1 взаємно простий із модулем, так <math>(\mathbb{Z}/1\,\mathbb{Z})^\times \cong C_1</math> тривіально. Отримуємо, що φ(1) = 1. Через те, що перший степінь будь-якого цілого числа рівний 1 за модулем 1, [[функція Кармайкла|λ(1)]] також 1.

За модулем 2, міститьє лише один клас взаємної рівності, 1, отже <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times \cong C_1</math> — [[тривіальна група]] (з одним елементом).

За модулем 4, тутє два взаємно прості класи рівності, 1 і 3, отже <math>(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \cong C_2,</math> [[циклічна група]] з двома елементами.

За модулем 8, тутє чотири взаємно прості класи, 1, 3, 5 і 7. Квадрат кожного з них дорівнює 1, отже <math>(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times \cong C_2 \times C_2,</math> [[4-група Клейна]].

За модулем 16, присутні вісім взаємно простих класів 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 і 15. <math>\{\pm 1, \pm 7\}\cong C_2 \times C_2,</math> — підгрупа 2-кручення (тобто квадрат кожного елемента дорівнює 1), отже <math>(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times</math> не циклічна. СтепеняСтепені числа 3, утворюють <math>\{1, 3, 9, 11\}</math> — підгрупа порядку 4, такяк самоі степенястепені 5, <math>\{1, 5, 9, 13\}.</math> &nbsp; Таким чином <math>(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z})^\times \cong C_2 \times C_4.</math>

ЗразокВластивості, що показали приклади з 8 і 16 зберігаєтьсязберігаються<ref>Gauss, DA, arts. 90–91</ref> для вищих степенів 2^''k'', ''k'' > 2: <math>\{\pm 1, 2^{ k-1} \pm 1\}\cong C_2 \times C_2,</math> — підгрупа 2-кручення (тому <math>(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^\times </math> не циклічна) і степені 3 це підгрупи порядку 2^{''k'' &minus; 2}, отже <math>(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^\times \cong C_2 \times C_{2^{k-2}}.</math>

Наприклад, візьмемо ''n''&nbsp;=&nbsp;20. <math>\varphi(20)=8</math> значить, що порядок <math>(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^\times</math> 8 (тоютотобто всього 8із чисел менших від 20, ілише 8 є взаємно простихпрості з ним); <math>\lambda(20)=4</math>, щоотже четвертий степінь будь-якого числа взаємно простого до 20 числа ≡ 1 (mod 20); і по породжувачах, 19 має порядок 2, 3 — 4, і кожен членелемент групи <math>(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^\times</math> має форму 19^''a'' × 3^''b'', де ''a'' — 0 або 1 і ''b'' — 0, 1, 2 або 3.

СтепеніСтепенями 19 —є {±1}, а і степені 3 — {3, 9, 7, 1}. Степені 3 помножені на ±1 складають всі числа менші 20 і взаємно простипрості щодоз ньогоним. Факт того, що порядком 19 є 2 і порядок 3 — 4 тягне за собою те, що кожен член <math>\mathbb{Z}_{20}^\times</math> ≡ 1 (mod 20).