Система лінійних алгебраїчних рівнянь: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 76:
== Методи розв'язання ==
Методи розв’язування систем лінійних албераїчних рівнянь можна досить чітко поділити на три групи: '''точні''', '''ітераційні''' та '''ймовірнісні'''. За Бахваловим (1987 рік), точні методи застосовні до систем з числом змінних до порядку 10<sup>4</sup>, ітераційні — 10<sup>7</sup>.
Найпростішим, хоча важким для практичних застосувань, методом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих. Суть його в тому, що із першого рівняння змінна <math> x_1 </math> виражається через інші змінні, й підставляється в усі інші рівняння. Це можна зробити, якщо коефіцієнт <math> a_{11} </math> відмінний від нуля. У випадку, якщо він нульовий, можна вибрати інше рівняння, оскільки перестановка рівнянь у системі дає еквівалентну систему. В результаті утворюється нова система рівнянь, в якій рівнянь на одне менше. З цією системою рівнянь можна поступити так само, отримуючи ще меншу систему рівнянь. Продовжуючи так, отримують одне [[лінійне рівняння]], з якого можна визначити одну із змінних, а інші, виключені, виразити через неї.▼
=== Точні методи ===
До точних методів належать методи, що дають точний результат у припущенні ідеальної арифметики (див. [[IEEE754]]). Точні методи можна застосовувати й тоді, коли коефіцієнти й вільні члени рівняння задані в аналітичній, символьній формі.
▲* '''Метод послідовного виключення'''. Найпростішим, хоча важким для практичних застосувань, методом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих. Суть його в тому, що із першого рівняння змінна <math> x_1 </math> виражається через інші змінні, й підставляється в усі інші рівняння. Це можна зробити, якщо коефіцієнт <math> a_{11} </math> відмінний від нуля. У випадку, якщо він нульовий, можна вибрати інше рівняння, оскільки перестановка рівнянь у системі дає еквівалентну систему. В результаті утворюється нова система рівнянь, в якій рівнянь на одне менше. З цією системою рівнянь можна поступити так само, отримуючи ще меншу систему рівнянь. Продовжуючи так, отримують одне [[лінійне рівняння]], з якого можна визначити одну із змінних, а інші, виключені, виразити через неї.
* [[Метод Гауса]] — метод, найчастіше застосовуваний при ручному розв’язуванні СЛАР.
** [[Метод Гауса-Жордана]] - модифікація методу Гауса.
| |||