|
У [[Теорія груп|теорії груп,]] '''перетворення ТітцеТитце''' використовуються для перевтілення одного [[Задання групи|задання групи]] в інше, часто простіше, задання тієї ж [[Група (математика)|групи.]] Ці перетворення були названі на честь ГенріхаГенриха ФрідріхаФридриха Франца ТітцеТитце, який вперше ввів їх у своїй праці 1908 року.
ЗаданняПодання групи визначаєтьсяпредставлене в термінах ''породжуючихтвірних елементіві'' івизначальних співвідношень; формально, це пара з множини породжуючих елементівтвірних та множини визначальних співвідношень-слів [[Вільна група|вільної групи]] над породжуючими елементамитвірними. Перетворення ТітцеТитце складаються з елементарних кроків, після кожного з яких отримуємо групу [[Ізоморфізм груп|ізоморфну]] початковій. Ці елементарні кроки можуть розглядатися над породжуючими едементамитвірними або визначальними співвідношеннями. Загалом маємо чотири види.
== Додавання визначального співвідношення ==
Якщо визначальне співвідношення може бути отримане з уже існуючих співвідношень, то дописування такого співвідношення не змінить нашої групи. Нехай G = <х | х <sup>3</sup> = 1> є скінченним заданнямподанням [[циклічна група|циклічної групи]] порядку 3. Домножуючи х <sup>3</sup> = 1 з обох боків на х <sup>3</sup> отримуємо х <sup>6</sup> = х <sup>3</sup> = 1, отже х <sup>6</sup> = 1, виводиться з х <sup>3</sup> = 1. Тому G = <х | х <sup>3</sup> = 1, х <sup>6</sup> = 1> — це лише інше заданняпредставлення тієї жсамої групи.
== Виключення визначального співвідношення ==
Якщо визначальне співвідношення виводиться з інших визначальних співвідношень, можемо безболісно для заданняпредставлення групи його викреслити. Для ''G'' = ''<х'' | ''х'' <sup>3</sup> = 1, ''х'' <sup>6</sup> = 1> співвідношенняспівввідношення ''х'' <sup>6</sup> = 1 може бути отримане з ''х'' <sup>3</sup> = 1, тому можемо безпечно викреслювати. Однак, зауважмо, що якщо викреслити ''х'' <sup>3</sup> = 1 з множинимножити співвідношеньвизначальних для групи, ''G'' = ''<х'' | ''х'' <sup>6</sup> = 1> визначатиме [[циклічна група|циклічну групу]] [[Порядок (теорія груп)|порядку]] 6 і не визначатиме тієї ж групи. Тож варто бути обережним, акуратно показуючи, що певне співвідношення дійсно є наслідком інших.
== Додавання породжуючоготвірного елемента==
Враховуючи заданняпредставлення, маємо право додати породжуючийтвірний елемент, який виражається у вигляді слова над попередніми породжуючимитвірними. Візьмімо ''G'' = ''<х'' | ''х'' <sup>3</sup> = 1> і покладімо ''у'' = ''х'' <sup>2</sup>. Нове заданняподання визначатиме ''G'' = ''<х, у'' | ''х'' <sup>3</sup> = 1, ''у'' = ''х'' <sup>2</sup>> визначатиме ту жсаму групу.
== Виключення породжуючого елементатвірного ==
Якщо визначальне співвідношення може бути представлене як вираження одного породжуючого елементатвірного через інші, то цей породжуючий елементтвірний можемо виключити. Для цього потрібно всі входження породжуючого елементатвірного замінити на еквівалентні йому слова. ЗаданняПредставлення [[4-група Клейна|4-групи КлейнаКляйна]] як G = <х, у, z | х = уz, у <sup>2</sup> = 1, z <sup>2</sup> = 1, х = х<sup>-1></sup>> можна замінити на ''G'' = ''<у, z'' | ''у'' <sup>2</sup> = 1, ''z'' <sup>2</sup> = 1, ''(уz)'' = ''(уz)'' <sup>-1>,</sup>>, виключивши ''х.''
== Приклади ==
Нехай ''G'' = ''<х, у'' | ''х'' <sup>3</sup> = 1, ''у'' <sup>2</sup> = 1, ''(х)'' <sup>2</sup> = 1> є заданнямподанням [[Симетрична група|для]] [[Симетрична група|симетричної]]-3 [[Група (математика)|групи]]. Породжуючий елементТвірний ''х'' відповідає підставновці (1,2,3), а ''у'' (2,3). За допомогою перетворення ТітцеТитце це заданняподання можна звести до ''G'' = ''<у, z'' | ''(zу)'' <sup>3</sup> = 1, ''у'' <sup>2</sup> = 1, ''z'' <sup>2</sup> = 1>, де z відповідає (1,2).
<table><td>
== Література ==
* Роджер С. Ліндон, Пол E Шупп, ''КомбинаторнаяКомбінаторна теориятеорія группгруп, М.,Springer'' 2001. ISBN 3-540-41158-5.
[[Категорія:Комбінаторна теорія груп]]
[[en:Tietze transformations]]
|
