Вікіпедія

Нерівність Коші — Буняковського: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
мНемає опису редагування
Рядок 7:
Нерівність для сум було опубліковано [[Коші Оґюстен-Луї|Оґюстеном Коші]] ([[1821]]) (тому цей випадок називають — '''Нерівність Коші'''), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована [[Буняковський Віктор Якович|Віктором Буняковським]] ([[1859]]) та вдруге відкрита [[Герман Шварц|Германом Шварцем]] ([[1888]]).
 
== Формулування нерівності ==
 
=== Загальний випадок ===
Рядок 20:
 
=== Часткові випадки ===
==== Лінійний простір <math>\ \mathbb{R}^n</math> ====
Скалярний добуток векторів <math>\ x=(x_1,x_2,\ldots x_n)</math> і <math>\ y=(y_1,y_2,\ldots y_n)</math> <math>\ \mathbb{R}^n</math> означимо за формулою▼
 
:<math> \langle x,y \rangle=\sum\limits_{i=1}^{n} x_iy_i </math>, тоді отримаємо, що▼
▲Скалярний добуток векторів <math>\ x=(x_1,x_2,\ldots x_n)</math> і <math>\ y=(y_1,y_2,\ldots y_n)</math> <math>\ \mathbb{R}^n</math> означимо за формулою
 
длятоді довільнихотримаємо, довільнихщо для дійсних чисел <math>\ x_1,x_2,\ldots x_n,y_1,y_2, \ldots y_n</math> виконується нерівність▼
▲<math> \langle x,y \rangle=\sum\limits_{i=1}^{n} x_iy_i </math>, тоді отримаємо, що
 
▲для довільних довільних дійсних <math>\ x_1,x_2,\ldots x_n,y_1,y_2, \ldots y_n</math> виконується нерівність
 
:<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right).</math>
Рядок 33 ⟶ 32:
 
==== Лінійний простір <math>\ C[a;b]</math> ====
<math>\ C[a;b]</math>&nbsp;— [[Векторний простір|лінійний простір]] [[неперервна функція|неперервних]] на відрізку <math>\ C[a;b]</math> функцій.▼
 
▲<math>\ C[a;b]</math>&nbsp;— [[Векторний простір|лінійний простір]] [[неперервна функція|неперервних]] на відрізку <math>\ C[a;b]</math> функцій.
 
Скалярний добуток для функцій <math>\ f(x), g(x)\in C[a;b]</math> означимо через
Рядок 42 ⟶ 40:
:<math>\left|\int\limits_{a}^{b} f(x) g(x)\,dx\right|^2\leq\int\limits_{a}^{b} \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\limits_{a}^{b}\left|g(x)\right|^2\,dx.</math>
 
== Доведення нерівності ==
 
=== Загальний випадок ===
Для довільного <math>\lambda\in\R.</math> Розглянемо скалярний квадрат вектора <math>\ x+\lambda y</math>:
 
Нехай <math>0 \le \langle x+\lambda y, x+\inlambda y \mathbb{R}.</math>rangle Розглянемо= скалярний\langle квадратx, вектораx <math>\rangle x+ 2\lambda y:</math> <math>\langle x+\lambda, y, x\rangle+\lambda^2 \langle y, y \rangle\ge 0 </math>. З іншого боку
 
Отже,Отримуємо квадратичну нерівність <math>\lambda^2\|y\|^2+2\lambda\langle x,y \rangle + \|x\|^2\ge 0</math>, для всіх <math>\lambda \in \mathbb{R} </math>. Це можливо, [[тоді і тільки тоді]], коли її [[дискримінант квадратного рівняння|дискримінант]] <math> 4\langle x,y \rangle^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2 </math> [[Квадратне рівняння|квадратного тричлени]] <math>\lambda^2\|y\|^2+2\lambda\langle x,y \rangle + \|x\|^2</math> не більший від нуля, тобто <math> \langle x,y \rangle\le\|x\|^2\|y\|^2</math>. Звідси одержуємо потрібну нерівність.▼
<math>\langle x+\lambda y, x+\lambda y \rangle = \langle x, x+\lambda y \rangle + \lambda y, x+\lambda y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\lambda \langle x, y \rangle+\lambda^2 \langle y, y \rangle </math>
 
Звідки отримуємо <math> \langle x,y \rangle\le\|x\| \cdot \|y\|</math>.
▲Отже, <math>\lambda^2\|y\|^2+2\lambda\langle x,y \rangle + \|x\|^2\ge 0</math>, для всіх <math>\lambda \in \mathbb{R} </math>. Це можливо, тоді і тільки тоді, коли дискримінант <math> 4\langle x,y \rangle - 4\|x\|^2\|y\|^2 </math> [[Квадратне рівняння|квадратного тричлени]] <math>\lambda^2\|y\|^2+2\lambda\langle x,y \rangle + \|x\|^2</math> не більший від нуля, тобто <math> \langle x,y \rangle\le\|x\|^2\|y\|^2</math>. Звідси одержуємо потрібну нерівність.
 
=== Частковий випадок ===
==== Лінійний простір <math>\ \mathbb{R}^n</math> ====
 
В лінійному просторі <math>\ \mathbb{R}^n</math> з введеним скалярним добутком <math> \langle x,y \rangle=\sum\limits_{i=1}^{n} x_iy_i </math> нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так
 
:<math> \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \left( x_i y_j - x_j y_i \right)^2
 
= \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{j=1}^n y_j^2 + \sum_{j=1}^n x_j^2 \sum_{i=1}^n y_i^2
- 2 \sum_{i=1}^n x_i y_i \sum_{j=1}^n x_j y_j </math>
Рядок 65 ⟶ 62:
 
:<math> \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left( x_i y_j - x_j y_i \right)^2
 
= \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 . </math>
 
Оскільки ліва чатина останьо тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Боняковського в [[Векторний простір|лінійному просторі]] <math>\ \mathbb{R}^n</math>
 
:<math> \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \geq 0. </math>
Рядок 88 ⟶ 84:
добувши корінь з обидвох частин, отримаємо [[нерівність трикутника]].
 
=== [[Математична олімпіада|Математичні олімпіади]] ===
 
На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Боняковського для [[Векторний простір|лінійного простору]] <math>\mathbb{R}^n</math>:
 
для додатніх дійсних <math>\ a_1, a_2, \ldots a_n, b_1, b_2 \ldots b_n </math>
Рядок 96 ⟶ 92:
:<math> \dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\ldots+\dfrac{a_n^2}{b_n} \ge\dfrac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{b_1+b_2+\ldots+b_n}. </math>
 
Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Боняковського, якщо покласти <math> x_i=\sqrt{\dfrac{a_i^2}{b_i}}, </math> <math>\quad y_i=\sqrt{b_i} </math>.
 
Зокрема дану нерівність можна використати, для доведення [[Нерівність Несбіта|нерівності Несбіта]]:
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Нерівність_Коші_—_Буняковського